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第一章 引论1

参考文献4

第二章 概率与随机变量(概要)5

2.1 集论初步5

2.1.1 集的运算6

2.1.2 波莱尔集合体7

2.2 概率公理与概率空间8

2.3 随机变量10

2.3.1 分布函数和密度函数11

2.3.2 条件分布和统计独立性14

2.3.3 矩16

2.3.4 特征函数18

2.4 随机变量的函数20

2.4.1 随机变量的和21

2.4.2 n个随机变量的n个函数23

2.5 高斯随机变量和中心极限定理25

参考文献28

习题28

3.1 随机过程的基本概念32

第三章 随机过程及其分类32

3.1.1 定义和概率分布33

3.1.2 矩36

3.1.3 特征函数38

3.1.4 随机过程的分类39

3.2 根据统计规律性的分类40

3.2.1 平稳过程和广义平稳过程41

3.2.2 谱密度与相关函数45

3.2.3 各态历经性50

3.3.1 纯粹随机过程55

3.3 按照记忆的分类55

3.3.2 马尔可夫过程56

3.3.3 独立增量过程59

3.3.4 维纳过程和泊松过程61

3.4 高斯随机过程64

参考文献65

习题66

第四章 常微分方程基础70

4.1 微分方程解的存在和唯一性定理70

4.1.1 微分方程的基本概念70

4.1.2 微分方程解的存在和唯一性定理74

4.1.4 解连续依赖于参数和始值的定理77

4.1.3 解的延拓77

4.2 线性微分方程78

4.2.1 线性微分方程的一般理论78

4.2.2 常系数线性方程组解的形式83

4.2.3 非齐次线性微分方程组89

4.2.4 线性系统的权函数和频率响应函数90

4.3 小参数方法(摄动法)95

4.4.1 基本概念98

4.4 常微分方程解的稳定性98

4.4.2 李雅普诺夫直接法101

4.4.3 积分不等式的方法104

4.5 线性和拟线性的一阶偏微分方程108

4.6 分离变量法110

参考文献112

习题112

第五章 随机极限及均方微积分114

5.1 预备知识114

5.2.1 均方收敛117

5.2 随机变量序列的收敛性117

5.2.2 依概率收敛120

5.2.3 几乎一定收敛123

5.2.4 依分布收敛126

5.3 均方连续性128

5.4 均方可微性131

5.4.1 均方导数的性质134

5.4.2 均方导数的均值和相关函数136

5.4.3 均方解析性138

5.5 均方可积性139

5.5.1 均方黎曼积分的性质141

5.5.2 均方黎曼积分的均值与相关函数144

5.5.3 均方黎曼-司梯捷斯积分147

5.6 均方导数和均方积分的分布151

参考文献155

习题155

第六章 随机常微分方程158

6.1 存在和唯一性159

6.1.1 Ln2空间159

6.1.2 均方解的存在和唯一性160

6.2 伊藤方程162

6.2.1 白噪声的表示法163

6.2.2 伊藤方程和伊藤积分163

6.2.3 解的存在和唯一性170

6.3 伊藤微分法则176

6.4 关于解过程的一般讨论181

6.5 随机微分方程的分类182

参考文献183

习题184

第七章 有随机初始条件的微分方程186

7.1 均方理论187

7.2 解过程的统计性质190

7.2.1 随机变量的变换190

7.2.2 刘维尔方程的应用194

参考文献197

习题198

第八章 有随机非齐次项的微分方程200

8.1 均方理论201

8.1.1 伊藤型方程203

8.1.2 伊藤型线性微分方程204

8.2.1 均值、相关函数和谱密度206

8.2 线性方程的解过程206

8.2.2 一个特例217

8.2.3 伊藤型线性方程解过程的均值和相关函数220

8.2.4 分布函数和密度函数227

8.3 马尔可夫过程的情况237

8.3.1 福克尔-普朗克和柯尔莫哥洛夫方程238

8.3.2 对伊藤方程的应用241

8.4 非线性方程的解过程249

8.4.1 福克尔-普朗克方程的应用249

8.4.2 摄动法264

8.4.3 等价线性化方法267

参考文献271

习题272

第九章 有随机系数的微分方程276

9.1 均方理论277

9.2 一阶线性方程277

9.3 有随机常系数的微分方程280

9.3.1 刘维尔方程的应用284

9.4 伊藤型微分方程287

9.5 摄动法297

9.5.1 直接法298

9.5.2 矩方程300

9.6 截断体系方法311

9.6.1 相关删去法313

9.6.2 累积量删去法314

参考文献316

习题318

第十章 随机稳定性320

10.1.1 积分方程方法321

10.1 矩稳定性321

10.1.2 伊藤型方程331

10.1.3 近似方法在矩稳定性研究中的应用333

10.2 李雅普诺夫稳定性335

10.2.1 伯特伦和萨拉奇克的工作335

10.2.2 卡茨和克拉索夫斯基的工作339

10.2.3 伊藤型方程和随机稳定性346

10.3 积分不等式的方法349

10.4 微分不等式的方法353

参考文献356

习题358

第十一章 随机控制360

11.1 干扰信号的最优滤波360

11.1.1 问题的提法360

11.1.2 卡尔曼-布西(KaIman-Bucg)滤波363

11.1.3 线性系统的最优滤波365

11.2 随机动力系统的最优控制367

11.2.1 贝尔曼方程369

11.2.2 线性系统370

11.2.3 滤波和控制的组合371

参考文献374

附录一 解过程的某些有用的性质376

1.跨越零点和跨越门槛376

2.极值分布381

3.零点间区间的分布385

4.第一次通过时间的概率392

参考文献398

附录二 作为分布的δ函数400

人名对照表412

编后记413