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第1章 极限理论1

1 数列的极限1

1.1 数列极限的定义1

1.2 无穷小量·无穷大量7

1.3 收敛数列的性质及运算14

1.4 夹逼法则22

1.5 施笃兹定理25

1.6 上确界·下确界·单调数列的极限28

1.7 数e34

习题37

2.1 函数极限的定义41

2 函数的极限41

2.2 函数极限的性质53

2.3 无穷大(小)的比较·o，O，O*的运算60

2.4 单侧极限·单调有界法则68

2.5 常用极限·求极限时常用的等式、不等式71

习题72

3 实数系的基本定理75

3.1 区间套定理75

3.2 聚点存在定理·子数列收敛定理79

3.3 上极限·下极限82

3.4 收敛准则94

3.5 有限覆盖定理97

习题100

第1章总习题102

第2章 一元连续函数104

1 连续与间断104

1.1 连续函数的概念104

1.2 初等函数的连续性108

1.3 单方连续与间断112

1.4 利用连续性求极限116

习题120

2 连续函数的性质123

2.1 有界性定理·最大值、最小值定理123

2.2 零点定理·介值定理125

2.3 一致连续126

2.4 一致连续函数之例131

习题134

第2章总习题135

第3章 导数与微分137

1 一阶导数·一阶微分137

1.1 导数的概念137

1.2 导数的运算142

1.3 求导数之例151

1.4 单方导数·间断的导函数155

1.5 微分的概念160

1.6 上半连续·下半连续·霍尔德连续164

习题167

2.1 高阶导数171

2 高阶导数·高阶微分171

2.2 高阶微分176

2.3 参变量方程所定义的函数和隐函数的导数及微分178

习题180

第3章总习题181

第4章 利用导数研究函数183

1 微分学基本定理183

1.1 费马定理·罗尔定理183

1.2 中值定理187

1.3 不定式的定值191

习题198

2.1 泰勒公式及其余项200

2 泰勒公式200

2.2 初等函数的泰勒公式207

习题211

3 函数的局部性质与整体性质212

3.1 函数上升、下降的判别法212

3.2 函数的极值、最大值、最小值216

3.3 凸函数·函数的拐点220

3.4 函数的图形227

习题235

第4章总习题237

1 实数的公理系统239

1.1 数的发展过程239

第5章 实数理论239

1.2 实数的公理系统240

习题245

2 康托尔的实数模型245

2.1 实数的定义245

2.2 Rc上的四则运算250

2.3 Rc上的次序256

2.4 Rc上的绝对值与不等式260

2.5 Rc上的极限262

习题269

3 实数的其他模型269

3.1 p进制法简介269

3.2 狄德金分划法简介270

3.3 连分数法简介272

3.4 实数系是最大的阿基米德有序?273

习题274

第5章总习题275

第6章 不定积分276

1 不定积分与原函数276

习题281

2 换元积分法·分部积分法281

2.1 换元积分法281

2.2 分部积分法286

习题290

3 有理函数的积分292

4 三角函数有理式的积分300

习题300

习题304

5 某些无理函数的积分304

5.1 ∫R{x,(ax+b/cx+d)r,…,(ax+b/cx+d)?}dx305

5.2 ∫xr(a+bx?)pdx306

5.3 ∫R(x,√ax2+bx+c)dx307

习题310

6 几种不能表示成初等函数的积分311

7 简单的微分方程313

7.1 基本概念313

7.2 可分离变量的一阶方程314

7.3 可化为变量分离的一阶方程317

7.4 一阶线性方程321

7.5 二阶常系数线性方程325

习题328

第6章总习题329

第7章 定积分332

1 定积分及其存在条件332

1.1 定积分的概念332

1.2 定积分的存在条件335

习题339

2 几类可积函数340

习题344

3 定积分的性质345

习题351

4 定积分的计算352

4.1 微积分基本公式352

4.2 定积分的换元法356

4.3 定积分的分部积分法359

习题366

5 定积分的近似计算368

5.1 梯形公式368

5.2 抛物线公式369

6 定积分的应用372

6.1 平面图形的面积372

习题372

6.2 截面面积为已知的立体的体积378

6.3 曲线的弧长382

6.4 旋转面的面积388

6.5 力学量和物理量的计算392

习题397

第7章总习题398

第8章 多元函数402

1 欧几里得空间402

1.1 基本概念402

1.2 基本性质406

1.3 几个基本定理410

习题416

2.1 多元函数417

2 多元函数及其极限417

2.2 极限418

2.3 累次极限422

习题425

3 多元函数的连续性426

3.1 连续函数及其运算426

3.2 连续函数的性质427

习题431

4 向量值函数432

4.1 基本概念432

4.2 极限436

4.3 连续性437

第8章总习题439

习题439

第9章 多元函数的微分学441

1 偏导数·全微分441

1.1 偏导数441

1.2 全微分445

1.3 链锁法则450

1.4 一阶全微分的形式的不变性455

习题458

2 高阶偏导数·高阶全微分460

2.1 高阶偏导数460

2.2 高阶全微分468

2.3 泰勒公式473

习题476

3 向量值函数的导数与可微性478

3.1 向量值函数的偏导数478

3.2 可微性481

3.3 链锁法则484

习题487

4 隐函数及其微分法488

4.1 问题的提出488

4.2 纯量值隐函数490

4.3 向量值隐函数496

习题508

5 函数相关和函数独立510

5.1 基本概念510

5.2 函数独立的判定511

习题515

6 微分学的应用516

6.1 空间曲线的切线与法平面516

6.2 曲面的切平面与法线521

6.8 平面曲线的曲率526

6.4 多元函数的极值529

6.5 最大值·最小值535

6.6 条件极值·拉格朗日乘数法538

习题544

第9章总习题547

习题答案与提示549

参考文献579