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第1章 计算方法的一般概念1

1．1 算法1

1．2 误差4

1．2．1 误差的来源与分类4

1．2．2 误差与准确数字4

1．2．3 数据误差影响的估计6

1．2．4 机器数与舍入误差7

1．2．5 算法的稳定性10

习题一12

实习题一15

2．1．1 高斯消去法的基本步骤17

2．1 高斯消去法17

第2章 解线性代数方程组的直接法17

2．1．2 高斯消去法的运算量20

2．1．3 选主元技术22

2．2 三角分解法25

2．2．1 杜里特尔分解法25

2．2．2 克洛特分解法30

2．2．3 追赶法32

2．2．4 平方根法33

2．3 舍入误差对解的影响35

2．3．1 向量与矩阵的范数35

2．3．2 舍入误差对解的影响39

习题二44

实习题二46

第3章 插值法48

3．1 插值多项式的概念48

3．1．1 插值多项式的定义48

3．1．2 插值多项式的存在与唯一性49

3．1．3 插值多项式的截断误差51

3．2 拉格朗日插值法54

3．2．1 拉格朗日插值多项式54

3．2．2 截断误差的实用估计法58

3．3 逐次线性插值法59

3．4 牛顿插值法64

3．4．1 牛顿插值多项式65

3．4．2 差商的性质68

3．5 带导数的插值多项式70

3．5．1 推广牛顿插值法70

3．5．2 构造基函数法71

3．6 分段插值法与样条函数插值法73

3．6．1 高次插值多项式的缺陷73

3．6．2 分段低次插值法75

3．6．3 三次样条函数78

3．6．4 三次样条插值79

习题三84

实习题三88

4．1．1 最优平方逼近函数90

第4章 函数最优逼近法90

4．1 最优平方逼近法90

4．1．2 正规方程组93

4．2 正交多项式100

4．2．1 正交函数系100

4．2．2 正交多项式性质105

4．3 最优一致逼近法108

4．3．1 最优一致逼近的概念108

4．3．2 切比雪夫多项式的性质110

4．3．3 近似最优一致逼近多项式的求法112

4．3．4 函数值的计算方法115

习题四118

实习题四120

第5章 数值微积分121

5．1 牛顿-柯特斯求积公式121

5．1．1 牛顿-柯特斯求积公式121

5．1．2 复化求积公式123

5．1．3 变步长积分法125

5．1．4 龙贝格积分法128

5．2 待定系数法与高斯型求积公式131

5．2．1 代数精度与待定系数法131

5．2．2 广义佩亚诺定理133

5．2．3 高斯型求积公式135

5．2．4 常用高斯型求积公式140

5．2．5 求积公式的舍入误差143

5．3 数值微分法144

5．3．1 近似替代法144

5．3．2 待定系数法与广义佩亚诺定理148

5．3．3 外推极限法149

习题五151

实习题五152

第6章 方程与方程组的迭代解法153

6．1 方程求根法153

6．1．1 试探法与二分法153

6．1．2 迭代法及其收敛条件154

6．1．3 迭代法收敛速度158

6．1．4 加速收敛技术159

6．1．5 牛顿迭代法的导出162

6．1．6 牛顿迭代法的收敛性164

6．1．7 弦割法167

6．2 线性代数方程组迭代解法170

6．2．1 基本迭代法170

6．2．2 基本迭代法收敛条件174

6．3 非线性代数方程组的迭代解法180

6．3．1 简单迭代法180

6．3．2 牛顿迭代法182

6．3．3 布洛顿算法185

习题六187

实习题六190

第7章 矩阵特征值与特征向量的计算191

7．1 乘幂法与反幂法191

7．1．1 乘幂法191

7．1．2 加速收敛技术195

7．1．3 反幂法197

7．2 雅可比法199

7．2．1 雅可比法基本思想199

7．2．2 旋转矩阵及其性质200

7．2．3 雅可比法计算公式及收敛性201

7．2．4 实用雅可比法205

7．3．2 一般矩阵的简化206

7．3．1 基本QR方法206

7．3 QR方法206

7．3．3 拟上三角矩阵的QR算法210

7．3．4 带位移的QR方法213

习题七216

实习题七217

第8章 常微分方程初值问题数值解法218

8．1 常用数值解法的导出与使用218

8．1．1 数值微分法 局部截断误差218

8．1．2 数值积分法 隐式公式的使用221

8．1．3 泰勒级数法与龙格-库塔法224

8．1．4 待定系数法 线性多步法230

8．2．1 误差估计及其推论235

8．2 数值解中误差的积累235

8．2．2 绝对稳定性238

8．2．3 常系数线性差分方程 多步法稳定性240

8．3 外推极限法244

8．4 微分方程组与高阶方程解法248

8．4．1 一阶微分方程组248

8．4．2 刚性问题249

8．4．3 高阶微分方程251

习题八253

实习题八254

9．1 常微分方程边值问题256

9．1．1 差分方程的建立与求解256

第9章 差分法256

9．1．2 差分解的误差估计与收敛性258

9．1．3 一般二阶微分方程边值问题260

9．1．4 打靶法261

9．2 椭圆型方程边值问题262

9．2．1 差分方程的建立和解法262

9．2．2 差分解的误差估计与收敛性266

9．2．3 一般二阶椭圆型方程边值问题269

9．3 抛物型方程初边值问题271

9．3．1 差分方程的建立与解法271

9．3．2 差分格式的稳定性275

9．3．3 差分解的误差估计与收敛性277

9．3．4 傅里叶稳定性判别法278

9．3．5 直线法282

9．4 双曲型方程混合问题283

9．4．1 差分方程的建立283

9．4．2 差分格式的稳定性285

习题九286

实习题九289

第10章 有限元法290

10．1 常微分方程边值问题290

10．1．1 变分法基本引理290

10．1．2 等价性定理291

10．1．3 有限元法294

10．2 椭圆型方程边值问题301

10．2．1 等价性定理302

10．2．2 剖分与插值305

10．2．3 单元分析309

10．2．4 总体合成313

10．2．5 基本方程组315

10．2．6 解题步骤与例题315

10．2．7 误差估计与收敛性319

10．2．8 有限元法与差分法的比较325

习题十326

附录 Matlab软件包介绍329

一、Matlab的进入、退出与工作区329

2．数字及其运算330

二、Matlab基础知识介绍330

1．Matlab的变量330

3．矩阵的生成332

4．Matlab内置函数333

5．多项式及其运算334

6．运算符334

7．操作符335

8．关系运算符336

9．M文件与M函数337

10．程序结构与控制341

11．矩阵的标识341

12．矩阵的生成341

14．绘图及图像处理，一元函数作图343

13．向量的生成343

三、常用数学计算344

1．矩阵计算344

2．线性代数方程组的求解346

3．方程求根346

4．数据拟合349

5．数值插值353

6．数值微商353

7．数值积分353

8．常微分方程初值问题355

习题356