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前言1

第一篇 分析引论1

第一章 集合与映射1

第一节 集合及其运算1

1.1 集合的概念与记号1

1.2 集合的运算2

1.3 集合的运算法则3

1.4 乘积集4

习题1.14

第二节 实数集及其完备性5

2.1 实数集的性质与不等式5

2.3 区间集和邻域6

2.2 常量和变量6

2.4 实数集的完备性与确界公理7

习题1.29

第三节 映射与函数9

3.1 映射概念及相关问题10

3.2 函数概念及其运算11

3.3 函数的几种特性17

3.4 函数应用举例18

习题1.321

第二章 极限24

第一节 无穷小量与无穷大量24

1.1 无穷小量与无穷大量的概念25

1.2 无穷小量与无穷大量的运算27

习题2.129

第二节 变量的极限及其性质31

2.1 变量的极限概念31

2.2 函数的极限32

2.3 变量极限的性质36

习题2.237

第三节 极限的运算法则39

3.1 四则运算法则39

3.2 夹逼法则42

3.3 极限 lim(x→0)sinx/x=142

3.4 复合运算法则43

习题2.345

第四节 单调有界原理与无理数 e46

4.1 单调有界原理47

4.2 极限 lim(x→∞)(1+1/x)x=c49

习题2.450

第五节 无穷小量的阶51

5.1 无穷小量的阶51

5.2 利用无穷小量等价代换求极限52

习题2.553

第六节 极限概念的推广54

第七节 极限应用举例54

习题2.759

第三章 连续函数61

第一节 函数的连续性概念、间断点及其分类61

1.1 函数的连续性概念61

1.2 函数的间断点及其分类63

习题3.164

第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性65

2.1 连续函数的和、差、积、商的连续性65

2.2 反函数的连续性66

2.3 复合函数的连续性66

2.4 初等函数的连续性66

2.5 利用初等函数的连续性求极限67

习题3.268

第三节 闭区间上连续函数的性质69

3.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质69

3.2 闭区间上连续函数的介值性质70

习题3.372

1.1 数项级数概念74

第一节 数项级数的概念与性质74

第四章 常数项级数74

1.2 数项级数的性质77

习题4.178

第二节 正项级数的收敛判别法79

2.1 正项级数的收敛准则79

2.2 比较判别法80

2.3 比值判别法82

2.4 根式判别法84

习题4.285

第三节 任意项级数的收敛判别法86

3.1 交错级数及其收敛判别法86

3.2 绝对收敛与条件收敛87

3.3 级数的乘法运算89

习题4.390

第五章 极限概念的精确化与实数基本定理92

第一节 极限概念的精确化92

1.1 过程的数学描述92

1.2 函数极限的精确定义94

1.3 用精确的极限定义论述极限问题95

习题5.199

第二节 实数基本定理100

2.1 单调有界原理的证明100

2.2 区间套定理101

2.3 致密性定理102

2.4 Cauchy 收敛准则104

习题5.2107

第三节 闭区间上连续函数性质的证明108

3.1 有界性定理109

3.2 最大(小)值定理109

3.3 介值定理111

习题5.3111

第四节 函数的一致连续性112

4.1 函数的一致连续性概念112

4.2 Gantor 一致连续性定理114

习题5.4115

第二篇 一元函数微积分117

第六章 导数与微分117

第一节 导数概念117

1.1 引出导数概念的几个经典问题117

1.2 导数定义120

1.3 求导举例122

1.4 函数的可导性与连续性的关系124

1.5 导数在经济学中的一个应用——边际成本125

习题6.1126

第二节 求导法则128

2.1 函数和、差、积、商的求导法则129

2.2 反函数的求导法则130

2.3 复合函数的求导法则——链式法则132

2.4 初等函数的导数134

2.5 隐函数求导法134

2.6 由参数方程所确定的函数的求导法136

2.7 高阶导数138

2.8 导数应用举例140

习题6.2142

第三节 微分146

3.1 微分概念146

3.2 微分运算法则148

3.3 高阶微分149

3.4 利用微分作近似计算150

习题6.3151

第四节 利用导数求极限——L’Hospital 法则153

4.1 0/0型未定式的极限153

4.2 ∞/∞型未定式的极限155

4.3 其他类型未定式的极限156

习题6.4158

第一节 微分中值定理160

1.1 Lagrange 微分中值定理的发现160

第七章 微分中值定理与 Taylor 公式160

1.2 Lagrange 微分中值定理的证明162

1.3 Lagrange 微分中值定理的推广——Cauchy 中值定理164

习题7.1166

第二节 Taylor 公式168

2.1 Taylor 多项式与 Taylor 公式168

2.2 Taylor 公式的余项估计169

2.3 一些初等函数的 Madaurin 公式172

2.4 Taylor 公式的简单应用173

习题7.2175

第八章 利用导数研究函数的性态177

第一节 函数的单调性与极值177

1.1 函数的单调性177

1.2 函数的极值178

1.3 极值问题的最优性条件179

1.4 最大值与最小值182

习题8.1184

第二节 凸函数186

2.1 凸函数概念186

2.2 判定函数凸性的充分条件187

2.3 凸函数的极值性质188

习题8.2189

第三节 平面曲线的曲率190

3.1 弧微分190

3.2 曲率概念191

3.3 曲率的计算193

3.4 曲率圆与曲率半径194

习题8.3196

第九章 积分及其应用198

第一节 定积分概念198

1.1 引出定积分概念的几个经典问题198

1.2 定积分概念201

1.3 定积分的几何意义203

习题9.1205

第二节 定积分的存在条件205

2.1 可积的必要条件205

2.2 可积函数类206

2.3 可积性准则207

习题9.2209

3.1 定积分的性质210

第三节 定积分的性质及积分中值定理210

3.2 积分中值定理212

3.3 可积函数的一些性质214

习题9.3216

第四节 微积分基本定理217

4.1 Newton-Leibniz 公式218

4.2 原函数存在定理220

习题9.4223

第五节 不定积分225

5.1 不定积分的概念及性质225

5.2 基本积分表225

5.3 积分法则226

习题9.5231

6.1 换元积分法233

第六节 积分的计算233

6.2 分部积分法239

6.3 积分表的使用方法243

习题9.6245

第七节 反常积分248

7.1 无穷区间上的积分248

7.2 无界函数的积分251

7.3 反常积分的收敛判别法253

7.4 绝对收敛257

习题9.7258

第八节 定积分应用举例259

8.1 总量的可加性与微元法260

8.2 几何应用举例260

8.3 物理应用举例264

习题9.8268

第九节 微分方程的初等积分法270

9.1 微分方程的几个基本概念271

9.2 一阶变量分离方程274

9.3 一阶齐次微分方程276

9.4 一阶线性微分方程278

9.5 利用变量代换求解微分方程282

9.6 可降阶的高阶微分方程283

9.7 应用举例287

习题9.9290

积分表294

习题答案与提示303

主要参考书333