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第一章　函数、极限与连续1

1.1　函数1

1.1.1　函数的概念1

1.1.2　初等函数4

1.2　极限6

1.2.1　数列的极限6

1.2.2　函数的极限7

1.2.3　极限的运算法则9

1.2.4　无穷小量与无穷大量12

1.2.5　复合函数的极限的求法14

1.2.6　两个重要极限15

1.3　函数的连续性19

1.3.1 函数在一点处的连续性19

1.3.2　函数在区间内的连续性20

1.3.3　初等函数的连续性21

第二章　导数与微分25

2.1　导数的概念25

2.1.1 函数在一点处的导数25

2.1.2　函数的导函数29

2.1.3　求导函数举例30

2.2　函数的求导法则与基本求导公式34

2.2.1 函数的和、差、积、商的导数34

2.2.2　反函数的导数35

2.2.3　基本导数公式36

2.2.4　复合函数的导数37

2.3　高阶导数39

2.4　隐函数的导数40

2.5　微分的概念与运算42

2.5.1　微分的概念42

2.5.2　微分的运算43

2.6　微分在近似计算中的应用45

第三章　一元函数微分学的应用50

3.1　柯西（Cauchy）中值定理与洛必达（L'Hospital）法则50

3.1.1　柯西中值定理50

3.1.2　洛必达法则50

3.2　拉格朗日（Lagrange）中值定理及函数的单调性52

3.2.1　拉格朗日中值定理52

3.2.2　两个重要推论53

3.2.3　函数的单调性53

3.3　函数的极值与最值54

3.3.1　函数的极值54

3.3.2　函数的最值57

3.4 曲率58

3.4.1　曲率的概念58

3.4.2　曲率的计算60

3.5 函数图形的凹向与拐点61

3.5.1 曲线的凹向及其判别法62

3.5.2　拐点及其求法62

3.5.3　曲线的渐近线63

3.5.4　函数作图的一般步骤64

3.6　一元函数微分学在经济上的应用66

3.6.1　成本函数与收入函数66

3.6.2　边际分析67

3.7　例题与练习70

3.7.1　本章提要70

3.7.2　要点解析71

3.7.3　例题精解72

第四章　不定积分76

4.1　不定积分的概念与性质76

4.1.1　原函数与不定积分76

4.1.2　基本积分公式表77

4.1.3　基本性质78

4.2　换元积分法80

4.2.1　第一换元积分法（凑微分法）80

4.2.2　第二换元积分法83

4.3　分部积分法88

4.4　两种特殊类型函数的积分93

4.4.1　有理函数的积分93

4.4.2　三角函数有理式的积分95

4.4.3　向量函数的积分96

4.5　小结98

第五章　定积分及其应用101

5.1　定积分的概念与性质101

5.1.1　定积分的定义101

5.1.2　定积分的基本性质103

5.2　微积分学基本公式105

5.2.1　积分上限函数105

5.2.2　牛顿——莱布尼兹公式106

5.3　换元积分法与分部积分法108

5.3.1　定积分的换元积分法108

5.3.2　定积分的分部积分法111

5.4　定积分的近似计算116

5.4.1　梯形法116

5.4.2　抛物线法117

5.5　定积分的几何应用120

5.5.1　平面图形的面积120

5.5.2　旋转体的体积125

5.5.3　平面曲线的弧长126

5.6　定积分的物理应用举例130

5.6.1　变力作功130

5.6.2　引力问题131

5.6.3　液体的侧压力132

5.7　广义积分134

5.7.1　无穷积分134

5.7.2　瑕积分137

5.7.3　Γ-函数139

5.8　小结141

5.8.1　概念141

5.8.2　定积分的计算142

5.8.3　定积分的应用142

第六章　空间解析几何145

6.1 向量与向量的坐标145

6.1.1　空间直角坐标系145

6.1.2　向量的概念147

6.1.3　向量的坐标148

6.2　数量积　向量积　混合积151

6.2.1　两向量的数量积151

6.2.2　两向量的向量积153

6.2.3　向量的混合积155

6.3　平面与空间直线157

6.3.1　平面及其方程157

6.3.2　直线及其方程159

6.3.3　直线、平面间的平行、垂直关系161

6.4　曲面与空间曲线164

6.4.1　曲面的方程164

6.4.2　柱面165

6.4.3　旋转曲面166

6.4.4　空间曲线的方程168

6.5　二次曲面170

6.5.1　椭球面170

6.5.2　抛物面171

6.5.3　双曲面173

6.6　小结175

6.6.1　向量及运算175

6.6.2　平面176

6.6.3　空间直线176

6.6.4　空间曲线177

6.6.5　二次曲面177

第七章　多元函数微分学182

7.1　多元函数及其极限182

7.1.1　多元函数的概念182

7.1.2　多元函数极限184

7.1.3　多元函数极限的计算185

7.1.4　多元函数的连续性185

7.2　偏导数187

7.2.1　偏导数的概念187

7.2.2　偏导数的几何意义190

7.2.3　高阶偏导数191

7.3　全微分193

7.3.1　全微分的概念193

7.3.2　一阶全微分形式不变性196

7.4　复合函数的求导197

7.5　隐函数的求导200

7.5.1　一元隐函数的微分法200

7.5.2　二元隐函数的微分法201

7.6　多元函数微分法的几何应用202

7.6.1　空间曲线的切线与法平面202

7.6.2　曲面的切平面与法线204

7.7　方向导数和梯度207

7.7.1　方向导数207

7.7.2　梯度209

7.8　多元函数的极值及其求法211

7.8.1　二元函数的极值211

7.8.2　条件极值212

7.8.3　二元函数的最值214

7.9　小结215

7.9.1　多元函数的概念215

7.9.2　多元函数的微分法215

7.9.3　全微分216

7.9.4　方向导数和梯度217

7.9.5　多元函数微分学的应用217

第八章　重积分221

8.1　二重积分的概念和性质221

8.1.1　二重积分的定义221

8.1.2　二重积分的性质223

8.2　二重积分的计算方法224

8.2.1　在直角坐标系中的计算方法224

8.2.2　在极坐标系中的计算方法228

8.3　二重积分的应用231

8.3.1　求体积和平面图形的面积231

8.3.2　求曲面的面积233

8.3.3　求平面薄板的质量和质心235

8.3.4　求平面薄板的转动惯量237

8.4　三重积分的概念和计算239

8.4.1　三重积分的概念239

8.4.2　直角坐标系中三重积分的计算240

8.4.3　柱坐标系中三种积分的计算242

8.4.4　球坐标系中三重积分的计算245

8.5　小结249

8.5.1　二重积分249

8.5.2　三重积分249

第九章　曲线积分与曲面积分252

9.1　曲线弧上的积分252

9.1.1　对弧长的曲线积分252

9.1.2　对坐标的曲线积分254

9.1.3　两类曲线积分间的联系257

9.2　格林公式258

9.2.1　格林公式258

9.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件260

9.3　有界曲面上的积分263

9.3.1　对面积的曲面积分263

9.3.2　对坐标的曲面积分265

9.3.3　奥高公式268

9.4　小结271

9.4.1 曲线积分271

9.4.2　曲面积分271

第十章　微分方程273

10.1　微分方程的基本概念273

10.2　一阶微分方程275

10.2.1　变量可分离的微分方程275

10.2.2　齐次型微分方程276

10.2.3　一阶线性微分方程277

10.2.4　伯努利方程280

10.3　可降阶的二阶微分方程282

10.3.1　y″=f（x）型的微分方程282

10.3.2　y″=f（x,y′）型的微分方程282

10.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程283

10.4　二阶线性微分方程286

10.4.1　线性微分方程解的结构286

10.4.2　二阶线性常系数齐次微分方程287

10.4.3　二阶线性常系数非齐次微分方程290

10.5　微分方程的应用293

10.6　小结297

10.6.1　微分方程的基本概念297

10.6.2　一阶微分方程297

10.6.3　可降价的高阶微分方程298

10.6.4　常系数二阶线性微分方程299

第十一章　无穷级数302

11.1　数项级数302

11.1.1　数项级数的概念及性质302

11.1.2　正项级数及其收敛性306

11.1.3　任意项级数311

11.2　幂级数315

11.2.1 函数项级数的一般概念315

11.2.2　幂级数的收敛半径与收敛区间315

11.2.3　函数展开成幂级数318

11.2.4　幂级数的性质320