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历史介绍1

第一章 算术基本定理11

1.1 引言11

1.2 整除性12

1.3 最大公约数12

1.4 素数14

1.5 算术基本定理15

1.6 素数倒数的级数16

1.7 欧几里得算法17

1.8 两个以上的数的最大公约数18

第一章 习题18

第二章 数论函数与迪利克雷乘积21

2.1 引言21

2.2 麦比乌斯函数μ（n）21

2.3 欧拉函数？（n）22

2.4 ？与μ的相互关系23

2.5 ？（n）的一个乘积公式24

2.6 数论函数的迪利克雷乘积25

2.7 迪利克雷逆函数与麦比乌斯反转公式27

2.8 曼戈尔特（Mangoldt）函数？（n）28

2.9 积性函数29

2.10 积性函数与迪利克雷乘积31

2.11 完全积性函数的逆函数32

2.12 刘维尔函数λ（n）33

2.13 除数函数σa（n）33

2.14 广义卷积34

2.15 形式幂级数36

2.16 数论函数的贝尔级数37

2.17 贝尔级数与迪利克雷乘积38

2.18 数论函数的导数39

2.19 塞尔伯格等式40

第二章 习题41

第三章 数论函数的平均值46

3.1 引言46

3.2 大O符号，函数的渐近等式47

3.3 欧拉求和公式48

3.4 几个基本渐近公式49

3.5 d（n）的平均阶50

3.6 除数函数σa（n）的平均阶53

3.7 ？（n）的平均阶54

3.8 对于由原点可见的格点分布的应用55

3.9 μ（n）与？（n）的平均阶57

3.10 迪利克雷乘积的部分和58

3.11 对μ（n）与？（n）的应用58

3.12 迪利克雷乘积的部分和的另一个等式61

第三章 习题62

第四章 素数分布的几个基本定理66

4.1 引言66

4.2 切比雪夫函数ψ（x）与？（x）67

4.3 联系？（x）与π（x）的关系式68

4.4 素数定理的几个等价形式70

4.5 π（n）与pn的一些不等式73

4.6 夏皮罗陶伯型定理76

4.7 夏皮罗定理的应用78

4.8 部分和∑ p≤x（1/p）的一个渐近公式80

4.9 麦比乌斯函数的部分和81

4.10 素数定理初等证明的简短概述87

4.11 塞尔伯格渐近公式88

第四章 习题89

第五章 同 余95

5.1 同余的定义与基本性质95

5.2 剩余类与完全剩余系98

5.3 一次同余式99

5.4 简化剩余系与欧拉-费马定理101

5.5 模p的多项式同余式，拉格朗日定理102

5.6 拉格朗日定理的应用103

5.7 一次同余式组，中国剩余定理104

5.8 中国剩余定理的应用105

5.9 模是素数方幂的多项式同余式107

5.10 交叉分类原理109

5.11 简化剩余系的分解性111

第五章 习题112

第六章 有限阿贝尔群及其特征115

6.1 定义115

6.2 群和子群的例子116

6.3 群的基本性质116

6.4 子群的结构117

6.5 有限阿贝尔群的特征119

6.6 特征群121

6.7 特征的正交关系式121

6.8 迪利克雷特征123

6.9 含有迪利克雷特征的和125

6.10 对于实的非主特征χ，L（1，χ）不等于零127

第六章 习题129

第七章 算术级数里素数的迪利克雷定理131

7.1 引言131

7.2 形如4n-1和4n＋1的素数的迪利克雷定理132

7.3 迪利克雷定理的证明方案133

7.4 引理7.4 的证明135

7.5 引理7.5 的证明135

7.6 引理7.6 的证明137

7.7 引理7.8 的证明137

7.8 引理7.7 的证明138

7.9 算术级数里素数的分布139

第七章 习题140

第八章 周期数论函数与高斯和141

8.1 模k的周期函数141

8.2 周期数论函数的有限傅里叶级数的存在性142

8.3 拉马努然和及其推广144

8.4 和Sk（n）的乘法性质146

8.5 与迪利克雷特征相伴的高斯和148

8.6 具有非零高斯和的迪利克雷特征150

8.7 诱导模与本原特征151

8.8 诱导模的进一步的性质152

8.9 特征的前导子154

8.10 本原特征与可分的高斯和154

8.11 迪利克雷特征的有限傅里叶级数155

8.12 本原特征部分和波利亚不等式156

第八章 习题158

第九章 二次剩余与二次互反律161

9.1 二次剩余161

9.2 勒让德符号及其性质162

9.3 （-1/p）与（2/p）的值164

9.4 高斯引理165

9.5 二次互反律168

9.6 互反律的应用170

9.7 雅可比符号172

9.8 对丢番图方程的应用175

9.9 高斯和与二次互反律176

9.10 二次高斯和的互反律179

9.11 二次互反律的另一个证明185

第九章 习题185

第十章 原 根188

10.1 数的次数mod m，原根188

10.2 原根与简化剩余系189

10.3 对α≥3，模2a的原根不存在189

10.4 对奇素数p，模p的原根存在190

10.5 原根与二次剩余191

10.6 模pα的原根存在192

10.7 模2pα的原根存在194

10.8 其他情况下原根不存在194

10.9 模m的原根的个数195

10.10 指数的计算197

10.11 原根与迪利克雷特征200

10.12 模pα的实值迪利克雷特征202

10.13 模pα的本原迪利克雷特征203

第十章 习题204

第十一章 迪利克雷级数与欧拉乘积207

11.1 引 言207

11.2 迪利克雷级数绝对收敛的半平面208

11.3 由迪利克雷级数定义的函数209

11.4 迪利克雷级数的乘积211

11.5 欧拉乘积213

11.6 迪利克雷级数收敛的半平面215

11.7 迪利克雷级数的解析性质217

11.8 具有非负系数的迪利克雷级数219

11.9 迪利克雷级数表示为迪利克雷级数的指数220

11.10 迪利克雷级数的平均值公式222

11.11 迪利克雷级数系数的一个积分公式224

11.12 迪利克雷级数部分和的一个积分公式225

第十一章 习题229

第十二章 函数ξ（s）和L（s，χ）232

12.1 引言232

12.2 伽马函数的性质233

12.3 胡尔维茨zeta函数的积分表示234

12.4 胡尔维茨zeta函数的围道积分表示236

12.5 胡尔维茨zeta函数的解析开拓237

12.6 ξ（s）与L（s，χ）的解析开拓238

12.7 ξ（s，a）的胡尔维茨公式239

12.8 黎曼zeta函数的函数方程242

12.9 胡尔维茨zeta函数的函数方程243

12.10 L-函数的函数方程244

12.11 求ξ（-n，a）的值246

12.12 伯努利数与伯努利多项式的性质247

12.13 L（0，χ）的公式250

12.14 用有限和逼近ξ（s，a）251

12.15 ｜ξ（s，a）｜的不等式253

12.16 ｜ξ（s）｜与｜L（s，χ）｜的不等式255

第十二章 习题256

第十三章 素数定理的解析证明261

13.1 证明的方案261

13.2 引理263

13.3 ？的围道积分表示266

13.4 直线σ＝1附近｜ξ（s）｜与｜ξ（s）｜的上界268

13.5 在直线σ＝1上ξ（s）不为零269

13.6 ？与？的不等式271

13.7 素数定理证明的完成272

13.8 ξ（s）的无零点区域275

13.9 黎曼假设277

13.10 对除数函数的应用277

13.11 对欧拉函数的应用280

13.12 特征和的波利亚不等式的推广283

第十三章 习题285

第十四章 分 拆288

14.1 引 言288

14.2 分拆的几何表示291

14.3 分拆的生成函数291

14.4 欧拉五边形数定理294

14.5 欧拉五边形数定理的组合证明297

14.6 p（n）的欧拉递推公式298

14.7 p（n）的上界299

14.8 雅可比三重积等式301

14.9 雅可比等式的推论303

14.10 生成函数的对数微分304

14.11 拉马努然的分拆等式306

第十四章 习题307

附录“哥德巴赫猜想”研究综览311

参考文献目录318

特殊符号索引324

编辑手记326