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第1章 函数、图像和直线1

1.1 函数1

1.1.1 区间表示法3

1.1.2 求定义域3

1.1.3 利用图像求值域4

1.1.4 垂线检验5

1.2 反函数6

1.2.1 水平线检验7

1.2.2 求反函数8

1.2.3 限制定义域8

1.2.4 反函数的反函数9

1.3 函数的复合10

1.4 奇函数和偶函数12

1.5 线性函数的图像14

1.6 常见函数及其图像16

第2章 三角学回顾21

2.1 基本知识21

2.2 扩展三角函数定义域23

2.2.1 ASTC方法25

2.2.2 [0，2π]以外的三角函数27

2.3 角函数的图像29

2.4 三角恒等式32

第3章 极限导论34

3.1 极限：基本思想34

3.2 左极限与右极限36

3.3 何时不存在极限37

3.4 在∞和-∞处的极限38

3.5 关于渐近线的两个常见误解41

3.6 三明治定理43

3.7 极限的基本类型小结45

第4章 求解多项式的极限问题47

4.1 x→a时的有理函数的极限47

4.2 x→a时的平方根的极限50

4.3 x→∞时的有理函数的极限51

4.4 x→∞时的多项式型函数的极限56

4.5 x→-∞时的有理函数的极限59

4.6 包含绝对值的函数的极限61

第5章 连续性和可导性63

5.1 连续性63

5.1.1 在一点处连续63

5.1.2 在一个区间上连续64

5.1.3 连续函数的一些例子65

5.1.4 介值定理67

5.1.5 一个更难的介值定理例子69

5.1.6 连续函数的最大值和最小值70

5.2 可导性71

5.2.1 平均速率72

5.2.2 位移和速度72

5.2.3 瞬时速度73

5.2.4 速度的图像阐释74

5.2.5 切线75

5.2.6 导函数77

5.2.7 作为极限比的导数78

5.2.8 线性函数的导数80

5.2.9 二阶导数和更高阶导数80

5.2.10 何时导数不存在81

5.2.11 可导性和连续性82

第6章 求解微分问题84

6.1 使用定义求导84

6.2 用更好的办法求导87

6.2.1 函数的常数倍88

6.2.2 函数和与函数差88

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数88

6.2.4 通过商法则求商函数的导数90

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数91

6.2.6 那个难以处理的例子94

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由96

6.3 求切线方程98

6.4 速度和加速度99

6.5 导数伪装的极限101

6.6 分段函数的导数103

6.7 直接画出导函数的图像106

第7章 三角函数的极限和导数111

7.1 三角函数的极限111

7.1.1 小数的情况111

7.1.2 问题的求解——小数的情况113

7.1.3 大数的情况117

7.1.4 “其他的”情况120

7.1.5 一个重要极限的证明121

7.2 三角函数的导数124

7.2.1 求三角函数导数的例子127

7.2.2 简谐运动128

7.2.3 一个有趣的函数129

第8章 隐函数求导和相关变化率132

8.1 隐函数求导132

8.1.1 技巧和例子133

8.1.2 隐函数求二阶导137

8.2 相关变化率138

8.2.1 一个简单的例子139

8.2.2 一个稍难的例子141

8.2.3 一个更难的例子142

8.2.4 一个非常难的例子144

第9章 指数函数和对数函数148

9.1 基础知识148

9.1.1 指数函数的回顾148

9.1.2 对数函数的回顾149

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数150

9.1.4 对数法则151

9.2 e的定义153

9.2.1 一个有关复利的问题153

9.2.2 问题的答案154

9.2.3 更多关于e和对数函数的内容156

9.3 对数函数和指数函数求导158

9.4 求解指数函数或对数函数的极限161

9.4.1 涉及e的定义的极限161

9.4.2 指数函数在0附近的行为162

9.4.3 对数函数在1附近的行为164

9.4.4 指数函数在∞或—∞附近的行为164

9.4.5 对数函数在∞附近的行为167

9.4.6 对数函数在0附近的行为168

9.5 取对数求导法169

9.6 指数增长和指数衰变173

9.6.1 指数增长174

9.6.2 指数衰变176

9.7 双曲函数178

第10章 反函数和反三角函数181

10.1 导数和反函数181

10.1.1 使用导数证明反函数存在181

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题182

10.1.3 求反函数的导数183

10.1.4 一个综合性例子185

10.2 反三角函数187

10.2.1 反正弦函数187

10.2.2 反余弦函数190

10.2.3 反正切函数192

10.2.4 反正割函数194

10.2.5 反余割函数和反余切函数195

10.2.6 计算反三角函数196

10.3 反双曲函数199

第11章 导数和图像202

11.1 函数的极值202

11.1.1 全局极值和局部极值202

11.1.2 极值定理203

11.1.3 求全局最大值和最小值204

11.2 罗尔定理206

11.3 中值定理209

11.4 二阶导数和图像212

11.5 对导数为零点的分类215

11.5.1 使用一次导数215

11.5.2 使用二阶导数217

第12章 绘制函数图像219

12.1 建立符号表格219

12.1.1 建立一阶导数的符号表格221

12.1.2 建立二阶导数的符号表格222

12.2 绘制函数图像的全面方法224

12.3 例题225

12.3.1 一个不使用导数的例子225

12.3.2 完整的方法：例一227

12.3.3 完整的方法：例二229

12.3.4 完整的方法：例三231

12.3.5 完整的方法：例四234

第13章 最优化和线性化239

13.1 最优化239

13.1.1 一个简单的最优化例子239

13.1.2 最优化问题：一般方法240

13.1.3 一个最优化的例子241

13.1.4 另一个最优化的例子242

13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导246

13.1.6 一个较难的最优化例子246

13.2 线性化249

13.2.1 线性化问题：一般方法251

13.2.2 微分252

13.2.3 线性化的总结和例子254

13.2.4 近似中的误差256

13.3 牛顿法258

第14章 洛必达法则及极限问题总结263

14.1 洛必达法则263

14.1.1 类型A：0/0263

14.1.2 类型A：±∞/±∞266

14.1.3 类型B1：（∞-∞）267

14.1.4 类型B2：（0×±∞）269

14.1.5 类型C：（1±∞，0 0或∞0）270

14.1.6 洛必达法则类型的总结272

14.2 关于极限的总结273

第15章 积分276

15.1 求和符号276

15.1.1 一个有用的求和279

15.1.2 伸缩求和法280

15.2 位移和面积283

15.2.1 三个简单的例子283

15.2.2 一段更常规的旅行285

15.2.3 有向面积287

15.2.4 连续的速度288

15.2.5 两个特别的估算291

第16章 定积分293

16.1 基本思想293

16.2 定积分的定义297

16.3 定积分的性质301

16.4 求面积305

16.4.1 求通常的面积306

16.4.2 求解两条曲线之间的面积308

16.4.3 求曲线与y轴所围成的面积310

16.5 估算积分313

16.6 积分的平均值和中值定理316

16.7 不可积的函数319

第17章 微积分基本定理321

17.1 用其他函数的积分来表示的函数321

17.2 微积分的第一基本定理324

17.3 微积分的第二基本定理328

17.4 不定积分329

17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理331

17.5.1 变形1：变量是积分下限332

17.5.2 变形2：积分上限是一个函数332

17.5.3 变形3：积分上下限都为函数334

17.5.4 变形4：极限伪装成导数335

17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理336

17.6.1 计算不定积分336

17.6.2 计算定积分339

17.6.3 面积和绝对值341

17.7 技术要点344

17.8 微积分第一基本定理的证明345

第18章 积分的方法Ⅰ347

18.1 换元法347

18.1.1 换元法和定积分350

18.1.2 如何换元353

18.1.3 换元法的理论解释355

18.2 分部积分法356

18.3 部分分式361

18.3.1 部分分式的代数运算361

18.3.2 对每一部分积分365

18.3.3 方法和一个完整的例子367

第19章 积分的方法Ⅱ373

19.1 应用三角恒等式的积分373

19.2 关于三角函数的幂的积分376

19.2.1 sin或cos的幂376

19.2.2 tan的幂378

19.2.3 sec的幂379

19.2.4 cot的幂381

19.2.5 csc的幂382

19.2.6 约化公式382

19.3 关于三角换元法的积分384

19.3.1 类型1：？a2-x2384

19.3.2 类型2：？x2＋a2386

19.3.3 类型3：？x2-a2387

19.3.4 配方和三角换元法388

19.3.5 关于三角换元法的总结389

19.3.6 平方根的方法和三角换元法389

19.4 积分技巧总结391

第20章 反常积分：基本概念393

20.1 收敛和发散393

20.1.1 反常积分的一些例子395

20.1.2 其他破裂点397

20.2 关于无穷区间上的积分398

20.3 比较判别法（理论）400

20.4 极限比较判别法（理论）402

20.4.1 函数互为渐近线402

20.4.2 关于判别法的陈述404

20.5 p判别法（理论）405

20.6 绝对收敛判别法407

第21章 反常积分：如何解题410

21.1 如何开始410

21.1.1 拆分积分410

21.1.2 如何处理负函数值411

21.2 积分判别法总结413

21.3 常见函数在∞和-∞附近的表现414

21.3.1 多项式和多项式型函数在∞和-∞附近的表现415

21.3.2 三角函数在∞和-∞附近的表现417

21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现419

21.3.4 对数在∞附近的表现422

21.4 常见函数在0附近的表现426

21.4.1 多项式和多项式型函数在0附近的表现426

21.4.2 三角函数在0附近的表现427

21.4.3 指数函数在0附近的表现429

21.4.4 对数函数在0附近的表现430

21.4.5 更一般的函数在0附近的表现431

21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点432

第22章 数列和级数：基本概念434

22.1 数列的收敛和发散434

22.1.1 数列和函数的联系435

22.1.2 两个重要数列436

22.2 级数的收敛与发散438

22.3 第n项判别法（理论）442

22.4 无穷级数和反常积分的性质443

22.4.1 比较判别法（理论）443

22.4.2 极限比较判别法（理论）444

22.4.3 p判别法（理论）444

22.4.4 绝对收敛判别法445

22.5 级数的新判别法447

22.5.1 比式判别法（理论）447

22.5.2 根式判别法（理论）449

22.5.3 积分判别法（理论）450

22.5.4 交错级数判别法（理论）453

第23章 求解级数问题455

23.1 求几何级数的值455

23.2 应用第n项判别法457

23.3 应用比式判别法457

23.4 应用根式判别法461

23.5 应用积分判别法462

23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法463

23.7 应对含负项的级数468

第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论472

24.1 近似值和泰勒多项式472

24.1.1 重访线性化472

24.1.2 二次近似473

24.1.3 高阶近似474

24.1.4 泰勒定理475

24.2 幂级数和泰勒级数478

24.2.1 一般幂级数479

24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数481

24.2.3 泰勒级数的收敛性481

24.3 一个有用的极限485

第25章 求解估算问题487

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结487

25.2 求泰勒多项式与泰勒级数488

25.3 用误差项估算问题491

25.3.1 第一个例子492

25.3.2 第二个例子494

25.3.3 第三个例子495

25.3.4 第四个例子496

25.3.5 第五个例子497

25.3.6 误差项估算的一般方法499

25.4 误差估算的另一种方法499

第26章 泰勒级数和幂级数：如何解题502

26.1 幂级数的收敛性502

26.1.1 收敛半径502

26.1.2 求收敛半径和收敛区域504

26.2 合成新的泰勒级数508

26.2.1 代换和泰勒级数509

26.2.2 泰勒级数求导511

26.2.3 泰勒级数求积分512

26.2.4 泰勒级数相加和相减514

26.2.5 泰勒级数相乘515

26.2.6 泰勒级数相除516

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导517

26.4 利用麦克劳林级数求极限519

第27章 参数方程和极坐标523

27.1 参数方程523

27.2 极坐标528

27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换529

27.2.2 极坐标系中画曲线530

27.2.3 求极坐标曲线的切线534

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积535

第28章 复数538

28.1 基础538

28.2 复平面541

28.3 复数的高次幂544

28.4 解zn=w545

28.5 解ez=w550

28.6 一些三角级数552

28.7 欧拉恒等式和幂级数554

第29章 体积、弧长和表面积556

29.1 旋转体的体积556

29.1.1 圆盘法557

29.1.2 壳法558

29.1.3 总结和变式560

29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间561

29.1.5 变式2：两曲线间的区域562

29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转565

29.2 一般立体体积567

29.3 弧长571

29.4 旋转体的表面积574

第30章 微分方程578

30.1 微分方程导论578

30.2 可分离变量的一阶微分方程579

30.3 一阶线性方程581

30.4 常系数微分方程585

30.4.1 解一阶齐次方程586

30.4.2 解二阶齐次方程586

30.4.3 为什么特征二次方程适用587

30.4.4 非齐次方程和特解588

30.4.5 求特解589

30.4.6 求特解的例子590

30.4.7 解决yP和yH间的冲突592

30.4.8 IVP593

30.5 微分方程建模595

附录A 极限及其证明598

A.1 极限的正式定义598

A.2 由原极限产生新极限602

A.3 极限的其他情形606

A.4 连续与极限611

A.5 再谈指数函数和对数函数616

A.6 微分与极限618

A.7 泰勒近似定理的证明627

附录B 估算积分629

B.1 使用条纹估算积分629

B.2 梯形法则632

B.3 辛普森法则634

B.4 近似的误差636

符号列表640

索引643