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第1章 函数与极限1

1.1 考试内容与要求1

1.1.1 考试内容1

1.1.2 考试要求1

1.2 知识要点1

1.2.1 基本概念1

1.2.2 基本性质3

1.2.3 基本理论4

1.2.4 重要结论及基本计算方法5

1.3 基础例题与范例精解6

1.3.1 函数概念的例题与解析6

1.3.2 求极限的例题与解析7

1.3.3 由函数极限和连续性求函数中待定系数的例题与解析14

1.3.4 无穷小比较的例题与解析16

1.3.5 函数连续性判断的例题与解析17

1.3.6 闭区间上连续函数性质的例题与解析19

1.4 自测题20

1.4.1 填空题自测20

1.4.2 选择题自测20

1.4.3 计算题自测21

1.4.4 证明题自测21

1.5 自测题答案21

1.5.1 填空题答案21

1.5.2 选择题答案22

1.5.3 计算题答案22

1.5.4 证明题答案23

第2章 导数与微分24

2.1 考试内容与要求24

2.1.1 考试内容24

2.1.2 考试要求24

2.2 知识要点24

2.2.1 基本概念24

2.2.2 基本性质25

2.2.3 基本理论26

2.2.4 重要结论及基本计算方法27

2.3 基础例题与范例精解28

2.3.1 函数导数计算的例题与解析28

2.3.2 利用导数定义求极限的例题与解析35

2.3.3 函数可导性讨论的例题与解析36

2.3.4 导数应用的例题与解析37

2.3.5 函数微分的例题与解析38

2.4 自测题39

2.4.1 填空题自测39

2.4.2 选择题自测39

2.4.3 计算题自测40

2.4.4 证明题自测40

2.5 自测题答案41

2.5.1 填空题答案41

2.5.2 选择题答案41

2.5.3 计算题答案41

2.5.4 证明题答案43

第3章 微分中值定理与导数的应用44

3.1 考试内容与要求44

3.1.1 考试内容44

3.1.2 考试要求44

3.2 知识要点44

3.2.1 基本概念44

3.2.2 基本性质45

3.2.3 基本理论46

3.2.4 重要结论及基本计算方法48

3.3 基础例题与范例精解49

3.3.1 中值定理相关的例题与解析49

3.3.2 洛必达法则应用的例题与解析53

3.3.3 不等式证明的例题与解析56

3.3.4 函数单调性的例题与解析57

3.3.5 函数极值和最值的例题与解析58

3.3.6 曲线凹凸性和拐点的例题与解析59

3.4 自测题60

3.4.1 填空题自测60

3.4.2 选择题自测60

3.4.3 计算题自测61

3.4.4 证明题自测61

3.5 自测题答案61

3.5.1 填空题答案61

3.5.2 选择题答案62

3.5.3 计算题答案62

3.5.4 证明题答案64

第4章 不定积分65

4.1 考试内容与要求65

4.1.1 考试内容65

4.1.2 考试要求65

4.2 知识要点65

4.2.1 基本概念65

4.2.2 基本性质66

4.2.3 基本理论66

4.2.4 基本积分公式67

4.3 基础例题与范例精解67

4.3.1 不定积分概念与性质的例题与解析67

4.3.2 第一类换元法的例题与解析72

4.3.3 第二类换元法的例题与解析75

4.3.4 分部积分法的例题与解析82

4.3.5 有理函数积分的例题与解析85

4.4 自测题88

4.4.1 填空题自测88

4.4.2 选择题自测89

4.4.3 计算题自测89

4.4.4 证明题自测90

4.5 自测题答案90

4.5.1 填空题答案90

4.5.2 选择题答案90

4.5.3 计算题答案91

4.5.4 证明题答案93

第5章 定积分94

5.1 考试内容与要求94

5.1.1 考试内容94

5.1.2 考试要求94

5.2 知识要点94

5.2.1 基本概念94

5.2.2 基本性质96

5.2.3 基本理论97

5.2.4 奇偶函数与周期函数的积分性质98

5.3 基础例题与范例精解98

5.3.1 定积分的概念与性质的例题与解析98

5.3.2 微积分基本公式的例题与解析101

5.3.3 定积分的换元法和分部积分法的例题与解析103

5.3.4 广义积分的例题与解析106

5.4 自测题108

5.4.1 填空题自测108

5.4.2 选择题自测109

5.4.3 计算题自测109

5.4.4 证明题自测110

5.5 自测题答案110

5.5.1 填空题答案110

5.5.2 选择题答案110

5.5.3 计算题答案111

5.5.4 证明题答案113

第6章 定积分的应用114

6.1 考试内容与要求114

6.1.1 考试内容114

6.1.2 考试要求114

6.2 知识要点114

6.3 基础例题与范例精解115

6.3.1 定积分的几何应用的例题与解析115

6.3.2 定积分的物理应用的例题与解析119

6.4 自测题122

6.4.1 填空题自测122

6.4.2 选择题自测122

6.4.3 计算题自测123

6.5 自测题答案124

6.5.1 填空题答案124

6.5.2 选择题答案124

6.5.3 计算题答案124

第7章 微分方程127

7.1 考试内容与要求127

7.1.1 考试内容127

7.1.2 考试要求127

7.2 知识要点127

7.2.1 基本概念127

7.2.2 基本方法128

7.3 基础例题与范例精解132

7.3.1 微分方程的基本概念的例题与解析132

7.3.2 可分离变量的微分方程的例题与解析133

7.3.3 齐次方程的例题与解析134

7.3.4 一阶线性微分方程的例题与解析135

7.3.5 可降阶的高阶微分方程的例题与解析138

7.3.6 高阶线性微分方程的例题与解析139

7.3.7 常系数齐次线性微分方程的例题与解析140

7.3.8 常系数非齐次线性微分方程的例题与解析141

7.4 自测题142

7.4.1 填空题自测142

7.4.2 选择题自测142

7.4.3 计算题自测143

7.4.4 证明题自测143

7.5 自测题答案143

7.5.1 填空题答案143

7.5.2 选择题答案144

7.5.3 计算题答案144

7.5.4 证明题答案145

第8章 向量代数与空间解析几何146

8.1 考试内容与要求146

8.1.1 考试内容146

8.1.2 考试要求146

8.2 知识要点147

8.2.1 基本概念147

8.2.2 基本性质148

8.2.3 基本理论148

8.3 基础例题与范例精解151

8.3.1 向量及其线性运算的例题与解析151

8.3.2 数量积、向量积、混合积的例题与解析153

8.3.3 曲面及其方程的例题与解析155

8.3.4 空间曲线及其方程的例题与解析158

8.3.5 平面及其方程的例题与解析161

8.3.6 空间直线及其方程的例题与解析163

8.3.7 平面、直线、点的关系166

8.3.8 点、线、面间的距离167

8.3.9 线、面间夹角169

8.4 自测题169

8.4.1 填空题自测169

8.4.2 选择题自测170

8.4.3 计算题自测170

8.4.4 证明题自测171

8.5 自测题答案171

8.5.1 填空题答案171

8.5.2 选择题答案171

8.5.3 计算题答案172

8.5.4 证明题答案173

第9章 多元函数微分法及其应用174

9.1 考试内容与要求174

9.1.1 考试内容174

9.1.2 考试要求174

9.2 知识要点175

9.2.1 基本概念175

9.2.2 基本性质177

9.2.3 基本理论177

9.3 基础例题与范例精解181

9.3.1 二元函数的概念的例题与解析181

9.3.2 二元函数极限的例题与解析182

9.3.3 多元函数连续性的例题与解析184

9.3.4 函数偏导数的例题与解析185

9.3.5 多元复合函数的偏导数的例题与解析188

9.3.6 隐函数的偏导数的例题与解析191

9.3.7 多元函数的全微分的例题与解析193

9.3.8 方向导数与梯度的例题与解析195

9.3.9 多元函数微分学的几何应用的例题与解析196

9.3.10 多元函数的极值与最值的例题与解析199

9.4 自测题201

9.4.1 填空题自测201

9.4.2 选择题自测201

9.4.3 计算题自测202

9.4.4 证明题自测202

9.5 自测题答案202

9.5.1 填空题答案202

9.5.2 选择题答案203

9.5.3 计算题答案203

9.5.4 证明题答案205

第10章 重积分207

10.1 考试内容与要求207

10.1.1 考试内容207

10.1.2 考试要求207

10.2 知识要点207

10.2.1 基本概念207

10.2.2 基本性质208

10.2.3 基本理论209

10.2.4 基本应用210

10.3 基础例题与范例精解212

10.3.1 二重积分的几何意义的例题与解析212

10.3.2 二重积分的性质的例题与解析213

10.3.3 利用直角坐标计算二重积分的例题与解析213

10.3.4 利用极坐标计算二重积分的例题与解析215

10.3.5 改变重积分的积分次序的例题与解析216

10.3.6 利用直角坐标计算三重积分的例题与解析217

10.3.7 利用柱坐标计算三重积分的例题与解析218

10.3.8 利用球坐标计算三重积分的例题与解析219

10.3.9 重积分的应用的例题与解析221

10.4 自测题224

10.4.1 填空题自测224

10.4.2 选择题自测224

10.4.3 计算题自测225

10.4.4 证明题自测226

10.5 自测题答案226

10.5.1 填空题答案226

10.5.2 选择题答案226

10.5.3 计算题答案226

10.5.4 证明题答案227

第11章 曲线积分与曲面积分228

11.1 考试内容与要求228

11.1.1 考试内容228

11.1.2 考试要求228

11.2 知识要点228

11.2.1 基本概念228

11.2.2 基本性质230

11.2.3 基本理论231

11.2.4 基本应用233

11.3 基础例题与范例精解235

11.3.1 对称性及质心公式的例题与解析235

11.3.2 曲线积分转化为定积分的例题与解析236

11.3.3 格林公式的例题与解析238

11.3.4 积分与路径无关的例题与解析240

11.3.5 二元函数的全微分求积的例题与解析242

11.3.6 曲面积分转化为二重积分的例题与解析243

11.3.7 高斯公式的例题与解析245

11.3.8 斯托克斯公式的例题与解析246

11.3.9 曲线积分与曲面积分的应用的例题与解析247

11.4 自测题249

11.4.1 填空题自测249

11.4.2 选择题自测249

11.4.3 计算题自测250

11.4.4 证明题自测251

11.5 自测题答案251

11.5.1 填空题答案251

11.5.2 选择题答案251

11.5.3 计算题答案251

11.5.4 证明题答案252

第12章 无穷级数254

12.1 考试内容与要求254

12.1.1 考试内容254

12.1.2 考试要求254

12.2 知识要点255

12.2.1 基本概念255

12.2.2 基本理论256

12.2.3 基本方法260

12.3 基础例题与范例精解261

12.3.1 常数项级数的概念和性质的例题与解析261

12.3.2 常数项级数的审敛法的例题与解析262

12.3.3 幂级数的例题与解析269

12.3.4 函数展开成幂级数的例题与解析274

12.3.5 傅里叶级数的例题与解析276

12.3.6 一般周期函数的傅里叶级数的例题与解析278

12.4 自测题279

12.4.1 填空题自测279

12.4.2 选择题自测280

12.4.3 计算题自测280

12.4.4 证明题自测281

12.5 自测题答案281

12.5.1 填空题答案281

12.5.2 选择题答案282

12.5.3 计算题答案282

12.5.4 证明题答案285

参考文献286