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第一篇 复变函数论1

第一章 复数与复变函数3

1.1复数及其代数运算3

1.2复变函数的基本概念6

习题10

第二章 解析函数11

2.1解析函数11

2.2解析函数与调和函数的关系16

2.3初等解析函数18

2.4解析函数在平面场中的应用24

习题28

第三章 复变函数的积分30

3.1复变积分的概念及其简单性质30

3.2哥西积分定理及其推广33

3.3不定积分35

3.4哥西积分公式及其推论37

习题41

第四章 复变函数级数43

4.1复变函数级数的基本概念43

4.2幂级数45

4.3罗朗级数50

4.4单值函数的孤立奇点54

习题59

第五章 留数定理及其应用61

5.1留数及留数定理61

5.2利用留数计算实积分66

习题80

第六章 保角变换82

6.1保角变换的概念82

6.2分式线性变换86

6.3唯一确定分式线性变换的条件91

6.4几个初等函数所构成的变换98

习题103

第二篇 数学物理方程105

第七章 一维波动方程107

7.1一维波动方程的建立107

7.2齐次方程的分离变量法112

7.3非齐次方程的求解116

7.4分离变量法举例119

习题126

第八章 一维热传导方程128

8.1热传导方程和扩散方程的建立128

8.2一维有界空间的输运问题131

8.3一维无界空间的输运问题133

8.4一端有界的输运问题139

8.5无界空间的分离变量法举例141

习题147

第九章 二维拉普拉斯方程149

9.1 二维拉普拉斯方程的分离变量法149

9.2 δ函数157

习题160

第十章 二阶线性偏微分方程的分类 本征值问题162

10.1 二阶线性偏微分方程的分类162

10.2施图姆-刘维尔本征值问题168

习题172

第十一章 波动方程的达朗贝尔解173

11.1弦振动方程的达朗贝尔解173

11.2三维空间的行波法 推迟势180

习题185

第十二章 格林函数法187

12.1 格林公式187

12.2泊松方程的格林函数法188

12.3波动方程的格林函数法192

12.4热传导方程的格林函数法195

12.5格林函数的求法196

习题204

第十三章 变分法206

13.1变分法的基本概念207

13.2泛函的极值209

13.3变分法在求解数学物理方程定解问题中的应用215

习题220

第十四章 非线性偏微分方程初步222

14.1 KdV方程与孤立波222

14.2 Burgers方程与冲击波227

第三篇 积分变换229

第十五章 傅里叶变换231

15.1傅里叶变换的定义及其基本性质231

15.2用傅里叶变换解数理方程举例237

习题240

第十六章 拉普拉斯变换242

16.1拉普拉斯变换的定义和它的逆变换242

16.2拉普拉斯变换的基本性质247

16.3拉普拉斯变换的应用举例249

习题257

第四篇 特殊函数259

第十七章 勒让德多项式球函数261

17.1勒让德微分方程及勒让德多项式261

17.2勒让德多项式的主要性质267

17.3连带勒让德多项式球函数273

17.4球函数应用举例279

习题282

第十八章 贝塞尔函数柱函数284

18.1贝塞尔微分方程及贝塞尔函数284

18.2贝塞尔函数的主要性质293

18.3虚宗量贝塞尔函数299

18.4贝塞尔函数的应用举例301

18.5球贝塞尔微分方程及球贝塞尔函数308

习题312

习题答案314

参考文献325