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第1章 样本空间与概率1

1.1 集合2

1.1.1 集合运算3

1.1.2 集合的代数4

1.2 概率模型4

1.2.1 样本空间和事件5

1.2.2 选择适当的样本空间5

1.2.3 序贯模型6

1.2.4 概率律7

1.2.5 离散模型8

1.2.6 连续模型10

1.2.7 概率律的性质11

1.2.8 模型和现实12

1.3 条件概率15

1.3.1 条件概率是一个概率律15

1.3.2 利用条件概率定义概率模型19

1.4 全概率定理和贝叶斯准则24

1.5 独立性30

1.5.1 条件独立32

1.5.2 一组事件的独立性34

1.5.3 可靠性36

1.5.4 独立试验和二项概率37

1.6 计数法39

1.6.1 计数准则39

1.6.2 n选k排列41

1.6.3 组合42

1.6.4 分割44

1.7 小结和讨论46

习题47

第2章 离散随机变量63

2.1 基本概念63

2.2 分布列65

2.2.1 伯努利随机变量67

2.2.2 二项随机变量67

2.2.3 几何随机变量68

2.2.4 泊松随机变量69

2.3 随机变量的函数70

2.4 期望、均值和方差71

2.4.1 方差、矩和随机变量的函数的期望规则73

2.4.2 均值和方差的性质76

2.4.3 某些常用的随机变量的均值和方差77

2.4.4 利用期望值进行决策80

2.5 多个随机变量的联合分布列81

2.5.1 多个随机变量的函数83

2.5.2 多于两个随机变量的情况84

2.6 条件86

2.6.1 某个事件发生的条件下的随机变量86

2.6.2 给定另一个随机变量的值的条件下的随机变量87

2.6.3 条件期望91

2.7 独立性96

2.7.1 随机变量与事件的相互独立性96

2.7.2 随机变量之间的相互独立性97

2.7.3 几个随机变量的相互独立性100

2.7.4 若干个相互独立的随机变量的和的方差101

2.8 小结和讨论103

习题105

第3章 一般随机变量122

3.1 连续随机变量和概率密度函数122

3.1.1 期望126

3.1.2 指数随机变量128

3.2 分布函数129

3.3 正态随机变量134

3.4 多个随机变量的联合概率密度139

3.4.1 联合分布函数142

3.4.2 期望143

3.4.3 多于两个随机变量的情况143

3.5 条件145

3.5.1 以事件为条件的随机变量145

3.5.2 一个随机变量对另一个随机变量的条件149

3.5.3 条件期望152

3.5.4 独立性154

3.6 连续贝叶斯准则157

3.6.1 关于离散随机变量的推断158

3.6.2 基于离散观察值的推断159

3.7 小结和讨论160

习题161

第4章 随机变量的深入内容176

4.1 随机变量函数的概率密度函数176

4.1.1 线性函数178

4.1.2 单调函数180

4.1.3 两个随机变量的函数183

4.1.4 独立随机变量和——卷积186

4.1.5 卷积的图像计算法189

4.2 协方差和相关190

4.3 再论条件期望和条件方差194

4.3.1 条件期望作为估计量197

4.3.2 条件方差197

4.4 矩母函数200

4.4.1 从矩母函数到矩203

4.4.2 矩母函数的可逆性205

4.4.3 独立随机变量和207

4.4.4 联合分布的矩母函数209

4.5 随机数个相互独立的随机变量之和210

4.6 小结和讨论214

习题214

第5章 极限理论228

5.1 马尔可夫和切比雪夫不等式229

5.2 弱大数定律232

5.3 依概率收敛234

5.4 中心极限定理236

5.4.1 基于中心极限定理的近似237

5.4.2 二项分布的棣莫弗－拉普拉斯近似240

5.5 强大数定律242

5.6 小结和讨论244

习题245

第6章 伯努利过程和泊松过程255

6.1 伯努利过程256

6.1.1 独立性和无记忆性257

6.1.2 相邻到达间隔时间260

6.1.3 第k次到达的时间261

6.1.4 伯努利过程的分裂与合并262

6.1.5 二项分布的泊松近似263

6.2 泊松过程266

6.2.1 区间内到达的次数268

6.2.2 独立性和无记忆性270

6.2.3 相邻到达时间271

6.2.4 第k次到达的时间272

6.2.5 泊松过程的分裂与合并274

6.2.6 伯努利过程和泊松过程， 随机变量之和276

6.2.7 随机插入的悖论277

6.3 小结和讨论279

习题280

第7章 马尔可夫链290

7.1 离散时间的马尔可夫链290

7.1.1 路径的概率293

7.1.2 n步转移概率294

7.2 状态的分类297

7.3 稳态性质300

7.3.1 长期频率解释305

7.3.2 生灭过程307

7.4 吸收概率和吸收的期望时间310

7.4.1 平均吸收时间314

7.4.2 平均首访时间及回访时间315

7.5 连续时间的马尔可夫链316

7.5.1 利用离散时间马尔可夫链的近似319

7.5.2 稳态性质321

7.5.3 生灭过程323

7.6 小结和讨论324

习题325

第8章 贝叶斯统计推断348

8.1 贝叶斯推断与后验分布351

8.2 点估计，假设检验，最大后验概率准则358

8.2.1 点估计360

8.2.2 假设检验363

8.3 贝叶斯最小均方估计367

8.3.1 估计误差的一些性质372

8.3.2 多次观测和多参数情况373

8.4 贝叶斯线性最小均方估计374

8.4.1 一次观测的线性最小均方估计374

8.4.2 多次观测和多参数情形378

8.4.3 线性估计和正态模型379

8.4.4 线性估计的变量选择379

8.5 小结和讨论380

习题380

第9章 经典统计推断390

9.1 典参数估计391

9.1.1 估计量的性质392

9.1.2 最大似然估计393

9.1.3 随机变量均值和方差的估计396

9.1.4 置信区间399

9.1.5 基于方差近似估计量的置信区间400

9.2 线性回归405

9.2.1 最小二乘公式的合理性407

9.2.2 贝叶斯线性回归408

9.2.3 多元线性回归410

9.2.4 非线性回归411

9.2.5 实际中的考虑412

9.3 简单假设检验412

9.4 显著性检验422

9.4.1 一般方法423

9.4.2 广义似然比和拟合优度检验428

9.5 小结和讨论431

习题432

索引443

附表448

标准正态分布表450