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第10章 函数序列与函数项级数1

10.1 函数项级数的基本概念与性质1

10.1.1 函数项级数的概念1

10.1.2 研究问题描述3

10.1.3 函数序列的一致收敛性5

10.1.4 函数序列一致收敛的典型例题8

10.1.5 函数项级数的一致收敛性11

10.1.6 函数项级数一致收敛的典型例题15

10.1.7 狄利克雷和阿贝尔判别方法17

10.2 函数项级数和函数的性质21

10.2.1 和函数的连续性21

10.2.2 和函数的可积性25

10.2.3 和函数的可微性27

10.3 幂级数32

10.3.1 幂级数的收敛域32

10.3.2 幂级数和函数的性质35

10.3.3 泰勒级数38

10.3.4 泰勒级数的应用44

10.3.5 幂级数综合例题46

10.4 综合例题选讲52

10.5 提高课：伯恩斯坦多项式序列的一致收敛56

10.6 探索类问题58

第11章 傅里叶级数与傅里叶变换61

11.1 傅里叶级数61

11.1.1 傅里叶级数的基本概念61

11.1.2 傅里叶级数逐点收敛定理64

11.1.3 傅里叶级数的性质69

11.1.4 以2π为周期的函数的傅里叶级数的计算71

11.1.5 以2ι为周期的函数的傅里叶级数的计算75

11.1.6 余弦和正弦级数计算78

11.2 提高课（1）：傅里叶级数的平方逼近85

11.3 提高课（2）88

11.3.1 傅里叶积分与傅里叶变换88

11.3.2 傅里叶变换的计算91

11.3.3 傅里叶变换的性质93

11.3.4 离散傅里叶变换95

11.3.5 快速傅里叶变换99

11.3.6 快速傅里叶变换应用实例101

11.4 提高课（3）104

11.4.1 小波变换初步：信号多分辨分析105

11.4.2 小波变换应用实例112

11.5 探索类问题120

第12章 多变量函数的极限与连续122

12.1 欧几里得空间122

12.2 n维欧几里得空间中点集的基本概念和性质124

12.3 欧几里得空间中点列的极限130

12.4 多元函数的极限133

12.4.1 多元函数的定义133

12.4.2 多元函数极限的定义136

12.4.3 多元函数极限基本理论139

12.4.4 多元函数极限典型例题141

12.4.5 累次极限144

12.5 多元连续函数147

12.5.1 多元连续函数的概念147

12.5.2 多元函数的一致连续150

12.5.3 偏连续与全连续153

12.6 有界闭集上多元连续函数的性质155

12.7 综合例题选讲156

12.8 探索类问题160

第13章 多元函数微分学162

13.1 全微分与偏导数162

13.1.1 多元函数的微分与偏导数162

13.1.2 多元复合函数求导168

13.1.3 方向导数与梯度173

13.1.4 高阶偏导数178

13.1.5 高阶微分184

13.2 中值定理与泰勒公式186

13.2.1 多变量函数的中值定理186

13.2.2 多变量函数的泰勒公式188

13.3 多元函数的极值195

13.3.1 关于矩阵的几个概念和性质195

13.3.2 多元函数的无约束极值196

13.4 隐函数存在定理及应用204

13.4.1 函数行列式204

13.4.2 隐函数存在定理207

13.4.3 隐函数组存在定理212

13.4.4 隐函数的应用：方程换元221

13.4.5 隐函数的几何应用226

13.5 条件极值234

13.6 提高课242

13.6.1 离散数据拟合：线性模型最小二乘方法242

13.6.2 离散数据拟合：非线性模型最小二乘方法244

13.6.3 数值优化初步248

13.7 探索类问题254

第14章 向量函数的微分学256

14.1 向量函数的极限与连续256

14.1.1 向量函数256

14.1.2 向量与矩阵范数259

14.1.3 向量函数的极限261

14.1.4 向量函数的连续与一致连续263

14.2 向量函数的微分267

14.2.1 向量函数的导数与微分267

14.2.2 向量函数导数的计算269

14.2.3 向量函数的中值定理273

14.2.4 向量函数的应用：开普勒定律的证明274

14.3 探索类问题277

第15章 常微分方程与数值解法初步280

15.1 微分方程与数学建模280

15.1.1 微分方程基本概念280

15.1.2 微分方程与数学建模281

15.2 一阶常微分方程的解法283

15.2.1 一阶常微分方程的分离变量法283

15.2.2 齐次方程284

15.2.3 一阶线性微分方程与伯努利方程286

15.2.4 可降阶的高阶微分方程288

15.3 二阶线性常微分方程的解法291

15.3.1 二阶线性微分方程解的结构291

15.3.2 参数变异方法293

15.3.3 常系数二阶线性齐次常微分方程295

15.3.4 常系数二阶线性非齐次常微分方程297

15.3.5 二阶线性常微分方程的幂级数解法与欧拉方程299

15.4 综合应用实例301

15.5 提高课（1）306

15.5.1 线性微分方程组的求解306

15.5.2 常微分方程初值问题的几个基本问题310

15.5.3 常微分方程数值解初步313

15.6 提高课（2）316

15.6.1 三级火箭问题研究316

15.6.2 人口模型研究319

15.6.3 微分方程组建模323

15.7 探索类问题327

第16章 重积分329

16.1 二重积分的定义与计算329

16.1.1 平面图形的面积329

16.1.2 二重积分的定义332

16.1.3 直角坐标系下二重积分的计算335

16.1.4 二重积分的换元公式342

16.1.5 极坐标系下二重积分的计算349

16.1.6 二重积分综合例题357

16.2 三重积分的定义与计算364

16.2.1 三重积分的定义364

16.2.2 直角坐标系下三重积分的计算367

16.2.3 三重积分的换元公式377

16.2.4 柱坐标系下三重积分的计算380

16.2.5 球坐标系下三重积分的计算383

16.2.6 三重积分综合例题388

16.3 重积分的物理应用393

16.3.1 重心坐标393

16.3.2 转动惯量394

16.3.3 引力395

16.4 提高课396

16.4.1 无界区域上的二重积分396

16.4.2 无界函数的二重积分401

16.5 探索类问题402

第17章 曲线积分与格林公式406

17.1 第一型曲线积分406

17.1.1 第一型曲线积分的定义406

17.1.2 第一型曲线积分的计算公式408

17.1.3 第一型曲线积分的基本性质410

17.1.4 第一型曲线积分的典型例题411

17.2 第二型曲线积分415

17.2.1 第二型曲线积分的定义415

17.2.2 第二型曲线积分的计算公式417

17.2.3 第二型曲线积分的典型例题418

17.3 格林公式423

17.3.1 格林公式423

17.3.2 曲线积分与路径的无关性431

17.4 提高课：格林第一、二、三公式与应用436

17.5 探索类问题440

第18章 曲面积分441

18.1 第一型曲面积分441

18.1.1 空间曲面的参数方程441

18.1.2 曲面面积的计算444

18.1.3 第一型曲面积分的定义与计算448

18.1.4 第一型曲面积分的典型例题451

18.2 第二型曲面积分458

18.2.1 双侧曲面458

18.2.2 第二型曲面积分的定义459

18.2.3 第二型曲面积分的计算公式462

18.2.4 第二型曲面积分的典型例题464

18.2.5 两型曲面积分的关系468

18.3 高斯公式472

18.3.1 高斯公式472

18.3.2 高斯公式应用例题474

18.3.3 空间格林第二、第三公式479

18.4 斯托克斯公式482

18.4.1 斯托克斯公式482

18.4.2 斯托克斯公式典型例题485

18.4.3 空间曲线积分与路径无关性489

18.5 场论初步492

18.5.1 数量场的梯度492

18.5.2 向量场的通量与散度493

18.5.3 向量场的环量与旋度496

18.5.4 有势场与势函数500

18.6 提高课502

18.6.1 积分的统一定义502

18.6.2 外微分503

18.7 探索类问题506

第19章 含参变量积分511

19.1 含参变量常义积分的定义与性质511

19.1.1 含参变量积分的分析性质511

19.1.2 含参变量积分典型例题515

19.2 含参变量无穷积分的一致收敛520

19.2.1 含参变量无穷积分的定义521

19.2.2 含参变量无穷积分的一致收敛判定定理521

19.2.3 含参变量无穷积分的连续性定理与应用529

19.2.4 含参变量无穷积分的可积性定理与应用533

19.2.5 含参变量无穷积分的可微性定理与应用537

19.2.6 含参变量瑕积分结论概述与应用540

19.3 提高课：欧拉积分与应用545

19.3.1 Γ函数545

19.3.2 B函数547

19.3.3 欧拉积分与应用550

19.4 探索类问题551

参考文献554