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第1章 预备知识1

1.1 σ代数与测度1

1.1.1 概率空间的定义1

1.1.2 概率空间的形成3

1.1.3 单调类和σ代数6

1.1.4 积概率空间8

1.1.5 Borel σ代数9

1.2 可测函数与积分10

1.2.1 可测函数10

1.2.2 几乎处处收敛11

1.2.3 积分11

1.3 正则测度，绝对连续测度，Lebesgue数与Perron-Frobenius定理14

1.4 习题17

第2章 遍历定理18

2.1 保测映射18

2.1.1 概念18

2.1.2 例子20

2.2 遍历测度26

2.3 Birkhoff遍历定理33

2.3.1 Birkhoff遍历定理的陈述33

2.3.2 对遍历定理的解释34

2.3.3 应用37

2.3.4 遍历定理的证明39

2.4 Poincaré回复定理43

2.5 多重回复定理和van der Waerden定理49

2.5.1 回复集，回复点49

2.5.2 多重回复定理52

2.5.3 van der Waerden定理54

2.6 习题55

第3章 测度熵57

3.1 测度熵的概念57

3.1.1 测度熵57

3.1.2 测度熵定义的合理性的讨论60

3.2 条件熵与测度熵62

3.2.1 条件熵62

3.2.2 条件熵的几条简单性质63

3.2.3 用条件熵研究测度熵66

3.3 测度熵的性质68

3.3.1 映射的迭代68

3.3.2 熵是同构不变量69

3.4 测度熵的计算70

3.4.1 Kolmogorov-Sinai定理71

3.4.2 熵计算的例子75

3.5 习题78

第4章 Shannon-McMillan-Breiman定理80

4.1 条件期望，条件测度和条件熵81

4.2 Shannon-McMillan-Breiman定理86

4.3 测度熵的另一种定义92

4.4 习题101

第5章 拓扑熵102

5.1 拓扑熵的开覆盖定义102

5.2 拓扑熵的等价定义110

5.2.1 用生成集和分离集定义拓扑熵110

5.2.2 开覆盖定义，生成集定义，分离集定义相互等价111

5.2.3 迭代系统和乘积系统的拓扑熵114

5.3 非游荡集Ω（F）和h（T）＝h（T|Ω（T））的证明115

5.3.1 非游荡集的概念和简单性质115

5.3.2 证明h（T）＝h（T|Ω（T））116

5.4 拓扑熵的计算（Ⅰ）120

5.4.1 可扩同胚120

5.4.2 可扩映射的拓扑熵125

5.5 拓扑熵的计算（Ⅱ）128

5.6 习题136

第6章 变分原理138

6.1 度量空间的测度138

6.1.1 Borel概率测度的相等138

6.1.2 M（X）的拓扑139

6.1.3 M（X，T）和E（X，T）144

6.1.4 不变测度的生成147

6.1.5 遍历测度的通有点149

6.2 遍历分解定理150

6.2.1 定义4个集合150

6.2.2 遍历分解定理152

6.2.3 遍历分解定理的另外形式153

6.3 熵映射154

6.4 变分原理160

6.5 拓扑Markov链与最大熵测度167

6.6 拓扑混合但统计平凡的一个例子169

6.6.1 例子的构造170

6.6.2 （A，σ）的拓扑混合性171

6.6.3 唯一的遍历测度支撑在唯一的不动点上172

6.7 习题175

第7章 流的熵178

7.1 时间1映射的熵178

7.2 等价流和Ohno的例子183

7.2.1 拓扑等价与拓扑共轭183

7.2.2 Ohno的例子的构造184

7.2.3 对例子的进一步讨论187

7.3 流的熵的另一种定义191

7.4 习题200

第8章 拓扑压201

8.1 拓扑压的定义201

8.1.1 用生成集和分离集给出的拓扑压定义201

8.1.2 拓扑压的开覆盖定义204

8.1.3 定义的等价性讨论206

8.2 拓扑压的性质208

8.2.1 拓扑压的几个性质208

8.2.2 拓扑压的变分原理210

8.3 平衡态216

8.4 习题220

参考文献221