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第0章 数域、映射1

0．1 数域1

0．2 映射1

第1章 矩阵与行列式3

1．1 矩阵3

1．1．1 矩阵的概念3

1．1．2 矩阵的运算5

习题1．1(A)8

习题1．1(B)9

1．2 行列式及其计算9

1．2．1 排列的逆序数9

1．2．2 行列式的定义及其性质10

1．2．3 行列式的计算与矩阵的初等变换13

习题1．2(A)15

习题1．2(B)16

1．3 行列式按一行(列)展开 克拉默法则17

1．3．1 行列式按一行(列)展开17

1．3．2 克拉默法则19

1．3．3 矩阵的分块、拉普拉斯定理20

习题1．3(A)22

习题1．3(B)22

1．4 逆矩阵23

1．4．1 伴随矩阵与矩阵的可逆性24

1．4．2 用初等变换求逆矩阵的方法25

习题1．4(A)26

习题1．4(B)27

独立作业127

综合练习128

第2章 向量代数及曲面与曲线29

2．1 向量代数29

2．1．1 自由向量29

2．1．2 向量的加法与数乘29

2．1．3 向量在数轴(或另一向量)上的代数射影31

2．1．4 空间直角坐标系、向量与点的坐标31

2．1．5 两向量的内积(数量积、点乘积)33

2．1．6 两向量的外积(向量积、叉乘积)35

2．1．7 三向量的混合积与二重向量积36

习题2．1(A)39

习题2．1(B)40

2．2 空间的平面与直线40

2．2．1 曲面与方程的关系，球面的方程41

2．2．2 平面与三元一次方程41

2．2．3 空间直线的方程42

2．2．4 关于平面、直线的若干问题44

2．2．5 柱面坐标系、球面坐标系简介，杂例45

习题2．2(A)48

习题2．2(B)49

2．3 曲线与曲面的参数方程 柱面、锥面与旋转面49

2．3．1 曲线与曲面的参数方程49

2．3．2 柱面51

2．3．3 锥面52

2．3．4 旋转面52

2．3．5 五种典型的二次曲面54

2．3．6 曲线在坐标面上的投影57

习题2．3(A)58

独立作业259

综合练习259

第3章 线性空间与线性方程组62

3．1 n维向量空间 向量的线性相关性62

3．1．1 n维向量空间的定义62

3．1．2 向量的线性相关性63

3．1．3 齐次线性方程组有非零解的一个充分条件64

3．1．4 极大线性无关组与向量组的秩66

习题3．1(A)67

习题3．1(B)67

3．2 矩阵的秩 线性方程组解的存在性68

3．2．1 矩阵的秩68

3．2．2 矩阵运算与矩阵的秩69

3．2．3 矩阵的秩与行列式的关系70

3．2．4 线性方程组解的存在性71

3．3 线性方程组解的结构72

3．3．1 齐次线性方程组的基础解系、解空间72

3．3．2 非齐次线性方程组解的结构74

习题3．2～3．3(A)76

3．4 线性空间的概念77

习题3．4(A)78

3．5 线性空间的维数 线性子空间79

3．5．1 线性空间的维数、基79

3．5．2 线性空间的基变换、坐标变换80

3．5．3 线性子空间81

3．5．4 线性空间的同构83

习题3．5(A)84

习题3．5(B)85

独立作业385

综合练习386

第4章 欧氏空间87

4．1 欧氏空间的基本概念87

4．1．1 内积及其基本性质87

4．1．2 范数与夹角89

4．1．3 度量矩阵90

4．2 标准正交基91

4．2．1 标准正交基及其基本性质91

4．2．2 格拉姆-施密特(Gram—Schmidt)正交化方法93

4．2．3 正交矩阵95

4．2．4 矩阵的QR只分解96

习题4．1～4．2(A)98

习题4．1～4．2(B)100

4．3 正交分解和最小二乘法101

4．3．1 正交分解和正交射影101

4．3．2 最佳逼近和最小二乘法103

习题4．3(A)106

独立作业4107

综合练习4108

第5章 特征值与特征向量109

5．1 矩阵的特征值与特征向量109

5．2 相似矩阵与矩阵的对角化115

5．2．1 相似矩阵115

5．2．2 矩阵可对角化的条件116

5．2．3 实对称矩阵的性质与对角化问题118

习题5．1～5．2(A)123

习题5．1～5．2(B)125

独立作业5125

综合练习5125

第6章 二次型与二次曲面127

6．1 二次型127

6．1．1 二次型及其矩阵表示127

6．1．2 二次型的标准形128

6．1．3 合同变换与惯性定理132

6．1．4 正定二次型与正定矩阵133

习题6．1(A)137

习题6．1(B)138

6．2 二次曲面的标准方程139

6．2．1 坐标变换139

6．2．2 二次曲面方程的化简与二次曲面的分类140

习题6．2(A)143

独立作业6144

综合练习6144

第7章 线性变换146

7．1 线性变换及其运算146

7．1．1 线性变换的定义及其基本性质146

7．1．2 核与值域148

7．1．3 线性变换的运算150

习题7．1(A)152

习题7．1(B)155

7．2 线性变换的矩阵表示155

7．2．1 线性变换的矩阵155

7．2．2 线性算子在不同基下矩阵之间的关系160

习题7．2(A)162

习题7．2(B)164

7．3 不变子空间164

7．3．1 不变子空间164

7．3．2 线性算子的特征值与特征向量165

习题7．3(A)167

习题7．3(B)168

独立作业7168

附录 习题答案与提示168