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1 数学物理中的典型方程和定解问题1

1.1 典型方程的推导1

1.1.1 弦振动方程和定解条件1

1.1.2 热传导方程和定解条件6

1.1.3 位势方程和定解条件9

1.1.4 流体力学基本方程组11

1.2 偏微分方程的基本概念15

1.3 2阶线性偏微分方程的化简与分类17

1.3.1 两个自变量2阶线性偏微分方程的化简17

1.3.2 两个自变量2阶线性偏微分方程的分类23

1.3.3 多个自变量2阶线性偏微分方程的分类26

1.4 定解问题的适定性28

习题129

2 分离变量法32

2.1 齐次边界条件有界弦自由振动方程的混合问题的分离变量法32

2.1.1 微分方程定解问题、分离变量法的基本思想32

2.1.2 求微分方程的特解33

2.1.3 定解问题的形式解34

2.1.4 综合过程、解的存在性35

2.1.5 举例37

2.1.6 解的物理意义39

2.2 齐次边界条件有界弦强迫振动方程的混合问题的分离变量法40

2.3 非齐次边界条件的定解问题45

2.4 解热传导方程的混合问题的分离变量法47

2.4.1 齐次方程、齐次边界条件48

2.4.2 非齐次方程、齐次边界条件49

2.4.3 一般的第一初边值问题51

2.4.4 具第三类边值条件的热传导方程混合问题分离变量法求解的例子54

2.5 圆柱体定常温度分布的Dirichlet问题58

习题262

3 积分变换法66

3.1 Fourier变换的理论基础、基本性质66

3.2 Fourier变换的应用70

3.2.1 热传导方程初值问题的解法70

3.2.2 半无界问题76

3.2.3 三维热传导方程初值问题77

3.2.4 弦振动方程的Fourier变换解法79

3.3 Laplace变换的引入、基本性质83

习题388

4 波动方程91

4.1 齐次弦振动方程的初值问题、D'Alembert公式、广义解91

4.2 D'Alembert公式的物理意义、传播波、依赖区域、影响区域、决定区域97

4.2.1 D'Alembert公式的物理意义、传播波97

4.2.2 影响区域、依赖区域和决定区域98

4.3 延拓法求解半无穷长弦振动方程初边值问题99

4.4 三维波动方程的球面平均法、Poisson公式103

4.5 三维非齐次波动方程初值问题、推迟势108

4.6 二维波动方程初值问题的降维法111

4.7 依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥113

4.8 Poisson公式的物理意义、Huygens原理115

4.9 能量不等式、波动方程初值问题解的唯一性和连续依赖性116

习题4127

5 椭圆型方程130

5.1 椭圆型方程边值问题的提法130

5.2 Green公式132

5.3 调和函数的基本积分表达式和一些基本性质133

5.4 Laplace方程第一边值问题解的唯一性及稳定性137

5.5 Green函数、Dirichlet问题的解138

5.5.1 Green函数的引出138

5.5.2 Green函数的基本性质140

5.5.3 特殊区域的Green函数、静电源像法144

5.5.3.1 球域的Green函数及Dirichlet问题的解145

5.5.3.2 半空间的Green函数及Dirichlet问题的解148

5.5.3.3 二维问题149

5.6 调和函数的进一步性质——Poisson公式的应用151

习题5154

6 抛物型方程157

6.1 热传导方程混合问题的适定性157

6.2 热传导方程Cauchy问题的适定性159

习题6163

7 基本解与解的积分表达式165

7.1 广义函数及其性质166

7.1.1 广义函数与δ函数的引出166

7.1.2 广义函数与δ函数的一些基本性质173

7.1.3 广义函数的导数174

7.2 基本解、解的积分表达式176

7.2.1 Lu＝0型方程的基本解176

7.2.2 ？u/？t＝Lu型方程Cauchy问题的基本解、解的积分表达式182

7.2.3 ？2u/？t2＝Lu型方程Cauchy问题的基本解、解的积分表达式184

习题7188

附录 Fourier变换表和Laplace变换表191

Fourier变换表191

Laplace变换表192