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第1章　极限与连续1

1.1　数列极限1

1.1.1　数列极限的定义2

1.1.2 收敛数列的性质5

1.1.3 收敛数列的四则运算7

1.1.4　数列收敛的判别法则9

1.1.5　趋于无穷大的数列13

1.1.6 自然对数底e14

习题1.1（A）15

习题1.1（B）17

1.2　函数极限18

1.2.1　函数在无穷大处的极限18

1.2.2　函数在一点的极限20

1.2.3　函数极限与数列极限的关系23

1.2.4　函数极限的性质和运算24

1.2.5　函数极限存在判别法26

1.2.6　两个重要极限28

1.2.7　无穷大量29

1.2.8　无穷小量30

1.2.9 关于“O”和“o”32

习题1.233

1.3　连续函数35

1.3.1　连续的定义35

1.3.2　连续函数的性质与运算38

1.3.3 闭区间上连续函数的性质41

习题1.3（A）43

习题1.3（B）46

第2章　一元函数的微分学47

2.1　导数47

2.1.1　导数的定义47

2.1.2　导数的运算50

2.1.3　求导基本法则和基本公式55

2.1.4　高阶导数56

习题2.1（A）59

习题2.1（B）62

2.2　一元函数的微分62

2.2.1　微分的定义62

2.2.2　微分运算的基本公式和法则65

2.2.3　一阶微分的形式不变性65

2.2.4　高阶微分66

习题2.267

2.3 Lagrange中值定理、函数的增减与极值68

2.3.1 Fermat定理和Rolle定理68

2.3.2 Lagrange中值定理70

2.3.3　函数的增减72

2.3.4　函数的极值73

习题2.3（A）74

习题2.3（B）76

2.4 Cauchy中值定理和未定式极限77

2.4.1 Cauchy中值定理和L'Hospital法则77

2.4.2　其他类型未定式81

习题2.483

2.5　函数图形的描绘85

2.5.1　函数的凹凸和拐点85

2.5.2　函数的渐近线87

2.5.3　描绘函数图像的要点89

习题2.5（A）90

习题2.5（B）91

2.6 Taylor公式92

2.6.1 Taylor多项式92

2.6.2 Taylor定理93

2.6.3　几个基本初等函数的Maclaurin公式95

习题2.6（A）98

习题2.6（B）99

第3章　一元函数的不定积分101

3.1　原函数和不定积分的概念101

3.1.1　求导的逆运算101

3.1.2　基本积分公式103

习题3.1104

3.2　基本积分方法105

3.2.1　换元积分法105

3.2.2　分部积分法109

习题3.2112

3.3　有理函数的积分115

3.3.1　部分分式法115

3.3.2　三角有理式的积分118

3.3.3　其他120

习题3.3122

第4章　一元函数的定积分124

4.1　定积分的定义和性质124

4.1.1　定积分的定义124

4.1.2 Newton-Leibniz定理127

4.1.3　定积分的性质128

习题4.1（A）134

习题4.1（B）137

4.2　微积分基本定理138

习题4.2（A）140

习题4.2（B）141

4.3　定积分的换元法和分部积分法142

4.3.1　定积分的换元法142

4.3.2　定积分的分部部分法144

习题4.3（A）146

习题4.3（B）148

4.4　积分近似计算148

4.4.1　矩形法149

4.4.2　梯形法150

4.4.3　抛物线法（Simpson公式）152

习题4.4153

4.5　定积分应用举例153

4.5.1　微元法153

4.5.2　平面曲线的弧长155

4.5.3　平面曲线的曲率157

4.5.4　平面图形的面积160

4.5.5　旋转体的体积164

4.5.6　旋转体的侧面积166

4.5.7　力学应用举例167

习题4.5168

4.6　广义积分170

4.6.1　无穷积分170

4.6.2　瑕积分173

4.6.3 广义积分的Cauchy主值175

习题4.6176

第5章　常微分方程177

5.1　常微分方程的基本概念177

习题5.1178

5.2　一阶微分方程178

5.2.1　可直接积分的方程179

5.2.2　齐次方程180

5.2.3　一阶线性微分方程184

5.2.4　可降阶的二阶微分方程188

习题5.2190

5.3　二阶线性微分方程的一般理论191

5.3.1 二齐次线性方程通解的结构191

5.3.2 二阶线性非齐次方程通解的结构196

习题5.3198

5.4　二阶常系数线性微分方程199

5.4.1 关于复值函数、复值解及复变量指数函数的注记199

5.4.2 二阶常系数线性齐次方程201

5.4.3　二阶常系数线性非齐次方程204

5.4.4 Euler方程207

习题5.4209

5.5　质点的振动210

5.5.1 自由简谐振动210

5.5.2 自由阻尼振动211

5.5.3　无阻尼的强迫振动213

习题5.5214

5.6　微分方程组214

习题5.6216

第6章 实数集的连续性，函数的可积性217

6.1　实数集的连续性217

6.1.1　实数的连续性命题217

6.1.2　十进制小数和有理数集的完备化222

6.1.3 连续函数的性质223

习题6.1225

6.2 可积函数及积分的性质226

6.2.1 连续函数的可积性227

6.2.2 可积函数229

6.2.3　积分的性质231

习题6.2235

附录Ⅰ 部分参考答案及提示236

附录Ⅱ 参考教学进度257