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一元分析1

1 函数、数列、极限、函数连续性1

1.1 实数1

1.1.1 实数的定义1

1.1.2 实数的性质及四则运算2

1.1.3 关于实数的一些基本定理7

目录9

符号表9

1.2 函数与数列9

1.2.1 变量变化区间9

1.2.2 函数概念及分类10

1.2.3 初等函数及其图象12

1.2.4 序列25

1.3 极限26

1.3.1 数列极限26

1.3.2 聚点28

1.3.3 判断数列极限存在的若干定理29

1.3.4 收敛数列的性质及运算32

1.3.5 函数极限的定义32

1.3.6 判断函数极限存在的若干定理33

1.3.7 函数极限的性质及运算35

1.3.8 无穷小量与无穷大量37

1.4 函数连续性41

1.4.1 连续性的基本概念41

1.4.2 连续函数的性质44

1.4.3 一致连续（均匀连续）45

2.1 导数与微分46

2.1.1 基本概念46

2 一元函数微分学46

2.1.2 连续、可导、可微间的相互关系48

2.1.3 微分法则及基本公式49

2.1.4 高阶导数与高阶微分52

2.2.1 Fermat定理55

2.2.2 微分中值定理55

2.2 微分学基本定理55

2.2.3 Taylor公式57

2.3 导数与微分的应用59

3.1 不定积分68

3.1.1 不定积分概念68

3 一元函数积分学68

3.1.2 积分法69

3.2 定积分80

3.2.1 概念与性质80

3.2.2 定积分计算84

3.3 定积分应用89

3.3.1 平面域的面积89

3.3.2 空间体的体积90

3.3.3 质心与形心95

3.4 积分表98

4.1 数项级数114

4.1.1 基本概念114

4 级数114

4.1.2 级数收敛性的基本定理115

4.1.3 正项级数的判敛117

4.1.4 任意项级数125

4.1.5 绝对收敛级数与条件收敛级数的某些特性、级数加快收敛法128

4.1.6 二重级数133

4.1.7 无穷乘积136

4.2 函数项级数141

4.2.1 基本概念141

4.2.2 一致收敛的判别法144

4.2.3 一致收敛函数项级数的性质146

4.3 幂级数149

4.3.1 基本概念149

4.3.2 幂级数性质151

4.3.3 幂级数的运算153

4.3.4 Taylor级数155

4.4 Fourier级数162

4.4.1 基本概念162

4.4.2 Fourier系数的性质168

4.4.3 Fourier级数的收敛性170

4.4.4 Fourier级数的一致收敛性172

4.4.5 Fourier级数的逐项积分与逐项微分173

4.4.6 Fourier级数的求和174

4.4.7 Fourier级数的应用178

5.1 无穷限广义积分181

5.1.1 基本概念181

5 广义积分181

5.1.2 收敛性判别法182

5.2 无界函数的广义积分184

5.2.1 基本概念184

5.2.2 收敛性判别法185

6.1 n维向量空间中的代数194

6 向量代数194

6.1.1 n维向量空间和基194

多元分析194

6.1.2 向量的内积与度量矩阵196

6.1.3 逆变基198

6.1.4 坐标变换与基的转换200

6.2 三维向量空间中的代数200

7.1 n维欧氏空间？n206

7.1.1 概念206

7 多元函数及其极限、连续性206

7.1.2 n维欧氏空间中的点集207

7.1.3 n维欧氏空间的性质210

7.2 多元函数211

7.2.1 映射211

7.2.2 多元函数的概念212

7.3 多元函数的极限及连续性214

7.3.1 多元函数的极限214

7.3.2 二元函数的累次极限215

7.3.3 多元函数的连续性216

7.4 多元向量函数及其极限、连续性217

7.4.1 概念217

7.4.2 向量函数的极限及连续性219

7.5 附录 ？3中的几何图形及公式221

8 多元函数的微分学232

8.1 偏导数232

8.2 全微分234

8.3 复合函数的偏导数与全微分236

8.4 方向导数与梯度239

8.4.1 方向导数239

8.4.2 梯度240

8.5 高阶偏导数与高阶全微分242

8.5.1 高阶偏导数242

8.5.2 高阶全微分244

8.6 Taylor公式245

8.7 隐函数及其微分法246

8.8 空间曲线及其切线248

8.9 光滑曲面与切平面250

8.10 极值253

8.10.1 极值253

8.10.2 条件极值255

9 向量函数的微分学257

9.1 一元向量函数的微分学257

9.2.1 基本概念261

9.2 多元向量函数的可微性与导数261

9.2.2 求导法则266

9.2.4 Taylor公式268

9.2.3 方向导数268

9.3 量函数的反函数269

9.4 由方程组确定的隐函数组272

10.1 含参量积分274

10 含参量积分274

10.2.1 一致收敛性276

10.2 含参量广义积分276

10.2.2 含参量广义积分的性质278

11.1 ？n中的Jordan可测集280

11 重积分280

11.2 ？n上的Riemann积分281

11.3 重积分的计算285

11.4.1 正则变换289

11.4 重积分的变量代换289

11.4.2 特殊情形292

12.1 可求长曲线297

12 曲线积分与曲面积分297

12.2 第一型曲线积分298

12.3 第二型曲线积分300

12.5 Green公式303

12.4 第一型与第二型曲线积分的联系303

12.6 曲面面积304

12.7 第一型曲面积分306

12.8 第二型曲面积分307

13.1 引论312

13 标量场及向量场312

13.2 标量场的梯度与保守场313

13.3 向量场的散度及Gauss定理316

13.4 向量场的旋度及Stokes定理318

13.5.1 Hamilton算子及Laplace算子321

13.5 线性微分算子321

13.5.2 微分算子公式322

13.6.1 曲线坐标系325

13.6 曲线坐标中的向量分析325

13.6.2 曲线坐标系中的基向量及度量张量327

13.6.3 基向量的导数及Christoffel符号329

13.7.1 任意曲线坐标系中的微分算子331

13.7 曲线坐标系中的微分算子331

13.7.3 柱坐标中的微分算子332

13.7.2 正交曲线坐标系中的微分算子332

13.7.4 球坐标中的微分算子334

13.8.1 无旋场（层状场）335

13.8 由旋度及散度确定的向量场335

13.8.2 无源场（管状场）336

13.8.3 Laplace场338

13.8.4 一般场340

13.9.1 标量场及向量场中的全微分342

13.9 不平稳场342

13.9.3 关于向量线及向量管保持不变的定理343

13.9.2 标量场及向量场中的积分公式343

14.1 引言344

14 张量分析基础344

14.2 张量与张量空间345

14.3.1 缩并与标积350

14.3 张量代数350

14.3.2 内积空间中的缩并与点乘351

14.3.3 置换、对称化与反称化352

1 4.3.4 外形式与外积354

14.3.5 广义Kronecker符号，Ricci符号，矩阵的行列式356

14.3.6 容积元及Hodge星算子358

14.4.1 仿射量的基本性质及运算359

14.4 二阶张量（仿射量）359

14.4.2 仿射量的不变量364

14.4.3 几种特殊仿射量的性质365

14.4.4 仿射量的分解367

14.5.1 赋范张量空间与距离368

14.5 张量分析368

14.5.2 张量函数的极限与连续性370

14.5.3 张量函数的导数与微分371

14.6.1 张量场及绝对微分学376

14.6 张量场376

14.6.2 曲线坐标中的张量场378

14.6.3 张量场的积分定理383

14.6.4 Riemann-Christoffel张量386

15.1 引言388

15 复平面与复变函数388

复变函数论388

15.2.1 复平面389

15.2 复数的几何表示389

15.2.2 用平面向量表示复数390

15.2.3 复数在极坐标系下的表示法391

15.3.1 加、减法392

15.3 复数的运算法及其几何意义392

15.3.2 乘法393

15.3.3 除法394

15.3.4 倒数395

15.4 复平面上的点集396

15.3.5 方根396

15.5 球极投影398

15.6 复数列的极限400

15.7.1 收敛定义及其判别法401

15.7 复数项级数的收敛性401

15.7.2 绝对收敛级数的性质402

1 5.8 路径与域403

1 5.9 复变函数405

16.2 复变函数的极限与连续性409

16.1 引言409

16 解析函数409

16.3 复变函数的导数411

16.4 复变函数的解析性413

16.5.1 指数函数415

16.5 初等超越函数415

16.5.2 三角函数417

16.5.3 双曲函数419

16.6.1 根式函数ω=？及其解析分支420

16.6 多值函数420

16.6.2 对数函数422

16.6.4 反三角函数425

16.6.3 一般幂函数425

16.6.5 反双曲函数426

17.2 复变函数的积分427

17.1 引言427

17 复变函数的积分427

1 7.3 Cauchy积分定理及其简单的推论与扩充430

17.4 Cauchy积分公式433

17.5 最大模原理与调和函数436

18.2 函数项级数的一致收敛性438

18.1 引言438

18 幂级数438

18.3 幂级数440

18.4 Taylor级数445

18.5 解析开拓448

18.6.1 Laurent展开式455

18.6 Laurent级数455

18.6.2 孤立奇点及其分类457

18.6.3 解析函数在∞点的性质459

18.7.2 亚纯函数461

18.7.1 整函数461

18.7 整函数与亚纯函数461

19.2 留数定理463

19.1 引言463

19 留数定理及其应用463

19.3 留数定理对亚纯函数的应用466

19.4 留数定理在积分计算中的应用470

20.2.1 导数模的几何意义477

20.2 保角映射477

20 保角（共形）映射477

20.1 引言477

20.2.3 保角映射及其性质478

20.2.2 导数辐角的几何意义478

20.3.1 几何作用479

20.3 分式线性函数ω=az+b/cz+d479

20.3.3 保圆性、保对称性480

20.3.2 解析性、单叶性、保角性480

20.3.5 几个重要的分式线性函数482

20.3.4 惟一确定分式线性函数的条件482

20.5 例题484

20.4 存在定理 边界对应定理484

20.6 常见的保角映射488

20.7.1 平面向量场495

20.7 若干应用495

20.7.3 平面流速场的复势499

20.7.2 用复变量表示平面向量场499

20.7.4 平面静电场的复势501

20.7.5 Жуковский机翼502

20.7.6 平行板电容器504

21.1 微分方程508

21 常微分方程的一般概念508

常微分方程508

21.2 微分方程的解509

22.1 可积类型及其解法要点511

22 一阶微分方程511

22.2 一阶微分方程的一些基本定理518

22.3 奇解及其解法520

22.4 一阶微分方程的几何意义522

23 高阶微分方程及微分方程组525

23.1 高阶微分方程525

23.2 微分方程组531

24 线性微分方程537

24.1 线性微分方程的一般理论537

24.2 常系数齐次线性方程的解法541

24.3 常系数非齐次线性方程的解法542

24.4 变系数线性微分方程的幂级数解555

24.5 线性微分方程组561

24.6 常系数线性微分方程组的解法564

24.7 在振动问题上的应用570

24.8 二阶线性微分方程的边值问题574

24.9 本征值问题581

25 稳定性理论585

25.1 基本概念585

25.2 常系数齐次线性方程组零解的稳定性587

25.3 按线性近似判定稳定性593

25.4 Liapunov第二方法596

25.5 V函数的某些做法和应用600

25.6 周期解和极限环625

26 非线性微分方程的近似解法628

26.1 图解法628

26.2 摄动法635

26.3 谐波线性化方法643

27.1 关于矩阵分析的引言645

27 矩阵范数与测度645

27.2 向量的范数645

矩阵分析与线性系统645

27.3 矩阵的范数646

27.4 矩阵的测度647

28 矩阵的谱分解与不等式650

28.1 单纯矩阵650

28.2 单纯矩阵的谱分解651

28.3 几种矩阵的关系652

28.4 有关特征值的不等式（矩阵不等式）653

29 矩阵序列与矩阵级数656

29.1 向量序列656

29.2 矩阵级数657

30.1 引言660

30.2 矩阵的导数660

30 矩阵的微分与积分660

30.3 关于向量及矩阵的导数662

30.4 向量及矩阵导数的应用665

30.5 向量及矩阵的积分666

30.6 向量函数的Cramer行列式与内积668

31.1 引言673

31.2 矩阵多项式673

31 矩阵函数673

31.3 矩阵函数675

31.4 矩阵函数的标准形678

31.5 矩阵分析的几个常用结果688

32 系统分析中的某些概率统计基础691

32.1 统计分布的部分结果691

32.2 关于极限的定理692

32.3 估计理论694

32.4 有关鞅论的几个结果698

33.2 连续线性系统的数学模型701

33.1 引言701

33.2.1 线性系统建模701

33 连续线性系统701

33.2.2 状态空间模型703

33.2.3 输入输出模型704

33.3 时变系统的解705

33.4 定常线性系统707

33.5 eAt及其计算709

33.6 连续线性系统的可控性与可观测性718

33.7 可控系统的典范形723

33.8 可观测系统的典范形728

34 离散线性系统730

34.1 离散线性系统建模的例730

34.2 Z变换731

34.3 差分方程734

34.4 常系数差分方程736

34.5 一阶差分方程组738

34.6 解的稳定性742

34.7 离散线性系统的输入输出模型744

34.8 离散线性系统的状态空间模型745

34.9 离散系统的可控性与可观测性746

34.11 几类线性系统模型的互换747

34.11.1 连续线性系统单输入单输出模型化为状态空间模型747

34.10 可控与可观测典范形747

34.11.2 连续线性系统的离散化748

34.11.3 离散状态空间模型化为输入输出模型749

34.11.4 输入输出模型化为状态空间模型750

35 线性系统对随机输入的响应751

35.1 平稳过程与拟平稳过程751

35.2 确定性信号的谱表示752

35.3 连续时间平稳信号的谱753

35.4 离散平稳信号的谱754

35.5 向量随机序列的谱755

35.6 白噪声756

35.7 例757

35.8 连续线性系统对随机输入的响应759

35.9 离散线性系统对随机输入的响应761

35.10 应用763

35.11 持续激励信号、采样定理与遍历性765

35.12 伪随机信号767

35.12.1 ［0,1］均匀分布的伪随机数767

35.12.2 正态分布的伪随机数768

36.1 引言774

36 离散线性系统辨识的常用算法774

系统辨识774

36.2 LS及其病态算法775

36.3 递推最小二乘法777

36.4 多变量系统的LS778

36.5 时变系统的适应算法779

36.6 基于H-变换的RLS780

36.8 关于一致性估计的注781

36.7 具有不相关噪声模型的最大似然估计781

36.9 辅助变量法与RIV782

36.10 增广最小二乘法与RELS783

36.11 广义最小二乘法与RGLS784

36.12 递推最大似然法786

37.1 模型检验789

37 模型检验与阶的估计789

37.2 F检验定阶法790

37.3 AIC定阶法791

38.1 预报误差模型793

38 预报误差方法与状态空间模型辨识793

38.2.2 噪声方差为未知的情形797

38.2.1 噪声方差为已知的情形797

38.2 PEM与ML的关系797

38.3 Kalman滤波的基本结果798

38.4 增广Kalman滤波800

38.5.2 自适应辨识算法802

38.5.1 引言802

38.5 状态空间模型的自适应辨识802

38.5.3 算法803

38.6 应用804

38.5.4 EKF的参数估计初始化问题804

39.1 引言809

39 连续系统的辨识809

39.3 InF的解析算法810

39.2 采样与模型810

39.4 InF的级数算法812

39.5 InF的数值迭代算法813

40.2 最小方差预报815

40.1 引言815

40 系统预报815

40.3.1 模型816

40.3 权函数模型的预报816

40.3.2 预报函数（预报器）817

40.4.1 模型818

40.4 输入输出模型的预报818

40.3.3 多变量系统的预报818

40.4.2 预报函数（预报器）819

40.6.1 引言820

40.6 自适应预报820

40.5 状态空间模型的预报820

40.6.2 PEM自适应预报算法821

41.1 基本概念823

41 偏微分方程基本概念823

偏微分方程823

41.2 定解条件824

41.3 定解问题826

41.4 偏微分方程分类828

42.1 一阶线性偏微分方程832

42 一阶偏微分方程832

42.2 一般一阶偏微分方程835

42.3 一阶偏微分方程组Cauchy-Kovalevskaya定理837

43.1 一维波动方程的行波解841

43 行波法与分离变量法841

43.2 Sturm-Liouville固有值问题845

43.3 一维混合问题的分离变量法846

43.4 高维混合问题的分离变量法Laplace方程的解857

44.1 Fourier变换与Cauchy问题869

44 积分变换法869

44.2 广义函数与基本解871

44.3 Laplace变换879

44.4 Laplace变换的应用881

44.5 积分变换表884

45.1 Green函数与热传导方程基本解893

45 Green函数法893

45.2 调和函数的性质895

45.3 Green函数与Laplace方程第一边值问题897

45.4 特殊区域上的Green函数899

46.1 解的惟一性902

46 偏微分方程近代理论902

46.2 弱解与泛函方法904

46.3 线性算子半群与发展方程的解908

46.4 不动点定理911

46.5 拟微分算子913

46.6 Lewy反例919

47.1 基本概念与方程的分类921

47 积分方程的一般概念921

积分方程921

47.2.1 微分方程初值问题与积分方程的关系925

47.2 积分方程与微分方程的关系925

47.3 积分微分方程926

47.2.2 微分方程边值问题与积分方程的关系926

47.4 连续核与L2核927

48.1.1 第二类Volterra积分方程930

48.1 两类Volterra积分方程930

48 Volterra积分方程930

48.1.2 第一类Volterra积分方程932

48.2 两类弱奇性积分方程933

48.3 Abel方程935

48.4 卷积型的积分方程936

49.1 退化核938

49 Fredholm积分方程938

49.2 L2核的ω-分解940

49.3 Fredholm择一性941

49.4 连续核的Fredholm理论943

49.5 L2核的Fredholm公式946

49.6 Hermite核理论950

49.7 第一类Fredholm积分方程957

50.1 Fredholm积分方程组960

50 积分方程组960

50.2 Volterra积分方程组961

50.3 一类Fredholm型积分方程962

51.1 Cauchy型积分964

51 Cauchy奇异积分方程964

51.2 Cauchy奇异积分方程和奇异算子966

51.3 Cauchy奇异积分方程的解法——化归为Riemann边值问题的解法969

51.4 Cauchy奇异积分方程的解法——正则化方法973

51.5 Cauchy奇异积分方程的基本定理974

52.1 函数的因子分解976

52 Wiener-Hopf积分方程976

52.2 Wiener-Hopf方法979

52.3 Wiener-Hopf积分方程的基本定理984

53.2 Volterra型非线性积分方程985

53.1 Fredholm型非线性积分方程985

53 非线性积分方程985

53.3 Hammerstein型非线性积分方程987

中文—外文名词索引990

附录990

外文—中文名词索引1012

外国人名表1034

参考文献1041