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绪论1

第一章　距离空间14

1.1　距离空间的基本概念14

1.1.1　距离空间的定义14

1.1.2　距离空间的例16

1.1.3　距离空间中的收敛20

1.2　开集和连续映射25

1.2.1　开球、闭球25

1.2.2　内点、开集、邻域27

1.2.3　等价的距离、连续映射28

1.3 闭集 可分性列紧性31

1.3.1　距离空间中的闭集31

1.3.2　闭集的结构31

1.3.3　可分的距离空间33

1.3.4　列紧的距离空间35

1.4 完备的距离空间37

1.4.1　Cauchy列37

1.4.2　完备的距离空间38

1.4.3　完备与不完备距离空间的例40

1.4.4　距离空间的完备化43

1.5 完备距离空间的性质和一些应用47

1.5.1　闭球套定理47

1.5.2　压缩映射原理48

1.5.3　压缩映射原理的应用51

习题156

第二章　线性赋范空间60

2.1　赋范空间的基本概念60

2.1.1　赋范空间和Banach空间的定义60

2.1.2　范数的连续性62

2.1.3　范数与距离的关系63

2.2 完备的赋范空间63

2.2.1　连续函数上定义的不同范数64

2.2.2　赋范空间的完备化64

2.2.3　Lp空间65

2.2.4　L∞空间70

2.2.5　lp空间71

2.3　赋范空间的几何结构73

2.3.1　凸集73

2.3.2　子空间74

2.3.3　Riesz引理76

2.4　有限维的赋范空间78

2.4.1　等价的范数78

2.4.2　有限维空间80

2.4.3　有限维赋范空间的几何特征81

2.5　赋范空间的进一步性质82

2.5.1　赋范空间中的级数82

2.5.2　赋范空间的商空间84

2.5.3　赋范空间的乘积空间86

习题288

第三章 内积空间与Hilbert空间92

3.1 内积空间的基本性质92

3.1.1　内积空间的定义92

3.1.2 由内积生成的范数93

3.1.3　内积和相应范数的关系95

3.1.4　完备的内积空间97

3.2　正交与正交分解99

3.2.1　正交的定义99

3.2.2　正交补集100

3.2.3　最佳逼近101

3.2.4　Hilbert空间的正交分解104

3.3　正交系和正交基106

3.3.1 内积空间中的正交系106

3.3.2　正交投影107

3.3.3　正交基108

3.4　Bessel不等式和正交列的完备性110

3.4.1　Bessel不等式110

3.4.2　正交列的完备性113

3.4.3　标准正交基的例116

3.5 可分的Hillbert空间117

3.5.1　线性无关组的正交化算法117

3.5.2　可分的Hilbert空间与l2等距同构119

习题3121

第四章　有界线性算子125

4.1　有界线性算子与有界线性泛函125

4.1.1　有界线性算子与有界线性泛函的定义125

4.1.2　有界线性算子组成的赋范空间127

4.1.3　有界线性算子的例130

4.1.4　有界线性算子范数的计算133

4.2　有界线性算子空间的收敛与完备135

4.2.1　有界线性算子空间中的收敛性135

4.2.2　有界线性算子空间的完备性137

4.3　一致有界原则138

4.3.1　Baire纲定理139

4.3.2　一致有界原则140

4.3.3　强收敛意义下的完备性143

4.3.4　共鸣定理的应用144

4.4　开映射定理与逆算子定理147

4.4.1　逆算子147

4.4.2　开映射定理148

4.4.3　逆算子定理152

4.5 闭算子与闭图像定理154

4.5.1　闭算子的定义154

4.5.2　闭算子的例156

4.5.3　闭图像定理157

习题4158

第五章　共轭空间和共轭算子163

5.1 Hahn-Banach定理163

5.1.1　Hahn-Banach定理163

5.1.2　Hahn-Banach定理的推论166

5.1.3　线性泛函和闭集分离167

5.2　共轭空间169

5.2.1　共轭空间的概念170

5.2.2 Lp［a,b］的共轭空间（1＜p＜∞）170

5.2.3　C［a,b］的共轭空间175

5.2.4　空间c的共轭空间177

5.3　Hilbert空间的共轭空间 共轭算子177

5.3.1　Riesz表示定理177

5.3.2　Hilbert空间的共轭空间179

5.3.3　Hilbert空间上的共轭算子180

5.4 自共轭的有界线性算子183

5.4.1　有界自共轭算子的定义、例183

5.4.2　自共轭算子的性质185

5.4.3　Cartesian分解187

5.5　Banach空间上的共轭算子 弱收敛188

5.5.1　Banach空间上的共轭算子188

5.5.2　自反性190

5.5.3　弱收敛191

5.5.4　一些具体空间中的弱收敛193

习题5195

第六章　线性算子的谱理论199

6.1　谱集和正则点集199

6.1.1　谱点和正则点的定义199

6.1.2　特征值和特征元素200

6.1.3　闭线性算子的正则点201

6.1.4　存在不是特征值的谱点202

6.2　有界线性算子的谱集202

6.2.1　有界线性算子的谱集是有界集203

6.2.2　有界线性算子的谱集是闭集204

6.2.3　有界线性算子的谱集非空205

6.2.4　有界线性算子的谱半径207

6.3　有界自共轭线性算子的谱209

6.3.1　有界自共轭线性算子剩余谱集是空集209

6.3.2　有界自共轭线性算子谱集的性质210

6.3.3　有界自共轭线性算子谱的分布211

习题6212

第七章　紧线性算子的谱分解215

7.1 紧线性算子215

7.1.1　紧线性算子的定义215

7.1.2　紧线性算子的例216

7.1.3　紧线性算子空间217

7.1.4　紧算子的有穷秩逼近219

7.2　紧线性算子的谱221

7.2.1　紧线性算子的特征值221

7.2.2　紧线性算子零空间的结构和连续谱222

7.2.3　紧线性算子像空间的结构和剩余谱224

7.2.4　Riesz-Schauder理论225

7.3　紧的自共轭线性算子的谱227

7.3.1　紧的自共轭线性算子的谱分解227

7.3.2　极大极小原理229

7.4　投影算子的加权和231

7.4.1　投影算子和投影算子的加权和231

7.4.2　投影算子加权和的性质234

7.4.3　投影算子加权和的谱235

7.4.4　紧的自共轭投影算子的加权和238

习题7239

附录244

附录Ⅰ 距离空间的紧性244

Ⅰ．1　列紧集，完全有界集244

Ⅰ．2　紧集246

Ⅰ．3　不同空间中紧集的充要条件247

Ⅰ．4　弱列紧250

附录Ⅱ 线性空间251

Ⅱ．1　线性空间的概念251

Ⅱ．2　线性无关和线性相关252

Ⅱ．3　线性空间的维数与Hamel基253

附录Ⅲ Lp空间254

Ⅲ．1　Lp空间完备性的证明254

Ⅲ．2　Lp空间的收敛性256

附录Ⅳ 有界变差函数空间V［a,b］256

索引260

参考文献263