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第一章 函数、极限与连续1

第一节 集合与映射1

目录1

一、集合的概念6

二、集合的运算6

三、区间与邻域6

四、映射的概念6

第二节 函数的概念与基本性质6

五、基本初等函数22

第三节 数列的极限22

七、双曲函数与反双曲函数22

六、初等函数22

一、函数的概念22

四、函数应用举例22

三、函数的几种特性22

二、复合函数与反函数22

第四节 函数的极限27

三、收敛准则27

一、数列极限的定义27

二、数列极限的性质27

一、x→∞时函数的极限31

二、x→x0时函数的极限31

三、函数极限的性质31

第五节 无穷大量与无穷小量31

三、无穷小量的性质35

第六节 极限的运算法则35

二、无穷小量35

一、无穷大量35

一、极限的四则运算法则38

二、复合函数的极限38

第七节 极限存在准则与两个重要极限38

一、夹逼定理43

二、函数极限与数列极限的关系43

三、柯西收敛准则43

四、两个重要极限43

第八节 无穷小量的比较43

第九节 函数的连续性45

习题一55

三、闭区间上连续函数的性质55

一、函数的连续与间断55

二、连续函数的基本性质55

第二章　一元函数的导数和微分61

第一节 导数的概念61

一、导数的定义69

二、导数的几何意义69

三、函数四则运算的求导法69

第二节 求导法则69

一、复合函数求导法74

二、反函数求导法74

三、参数方程求导法74

四、隐函数求导法74

第三节 函数的微分74

一、微分的概念77

二、微分的运算公式77

第四节 高阶导数与高阶微分77

二、高阶微分82

第五节 微分中值定理82

一、高阶导数82

第六节 泰勒公式86

第七节 洛必达法则89

一、？型不定式94

二、？型不定式94

三、其他不定式94

习题二94

第三章　一元函数微分学的应用102

第一节 函数的单调性与极值102

第二节 函数的最大（小）值及其应用106

一、函数单调性的判别106

二、函数的极值106

第三节 曲线的凹凸性、拐点109

第四节 曲线的渐近线、函数作图112

一、渐近线117

二、函数图形的描绘117

第五节 微分学在物理学中的应用举例——相关变化率117

第六节 微分学在几何中的应用举例——曲率、曲率半径119

第七节 微分学在经济学中的应用举例124

三、曲率圆与曲率半径124

一、弧微分124

二、曲率124

一、边际函数127

二、函数的弹性127

三、增长率127

习题三127

第四章　一元函数的积分132

第一节 定积分的概念132

第二节 原函数与微积分学基本定理139

三、定积分的性质139

二、定积分的概念139

一、曲边梯形的面积139

一、原函数与变限积分143

二、微积分学基本定理143

第三节 不定积分与原函数求法143

一、不定积分的概念和性质160

二、求不定积分的方法160

第四节 积分表的使用160

第五节 定积分的计算161

第六节 广义积分169

三、有理函数定积分的计算169

一、换元法169

二、分部积分法169

一、无穷积分177

二、瑕积分177

三、广义积分的收敛原理177

四、广义积分的柯西主值177

习题四177

第五章　定积分的应用183

第一节 微分元素法183

第二节 平面图形的面积184

一、直角坐标情形189

二、极坐标情形189

第三节 几何体的体积189

一、平行截面面积为已知的立体体积192

二、旋转体的体积192

第四节 曲线的弧长和旋转体的侧面积192

第五节 定积分在物理学中的应用196

一、平面曲线的弧长196

二、旋转体的侧面积196

一、变力做功203

二、液体静压力203

三、引力203

四、平均值203

第六节 定积分在经济学中的应用203

一、最大利润问题205

二、资金流的现值与终值205

习题五205

第六章　常微分方程208

第一节 常微分方程的基本概念208

第二节 一阶微分方程及其解法210

四、一阶线性微分方程219

五、伯努利方程219

第三节 微分方程的降阶法219

二、齐次方程219

一、可分离变量方程219

三、可化为齐次方程的方程219

一、y(n)=f(x)型方程222

二、不显含未知函数的方程222

三、不显含自变量的方程222

第四节 线性微分方程解的结构222

二、线性微分方程解的结构229

第五节 二阶常系数线性微分方程229

一、函数组的线性相关与线性无关229

一、二阶常系数齐次线性微分方程235

二、二阶常系数非齐次线性微分方程235

第六节 n阶常系数线性微分方程235

一、n阶常系数齐次线性微分方程的解法237

二、n阶常系数非齐次线性微分方程的解法237

第七节 欧拉方程237

习题六239

附录Ⅰ 几种常用的曲线243

附录Ⅱ 积分表246

习题参考答案256