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目录1

前言1

第1章　预备知识1

1.1　集合论的初步知识1

1.1.1　集合的基本概念1

1.1.2　集合的表示2

习题1.13

1.2 集合的关系与运算3

1.2.1　集合间的基本关系3

1.2.2　幂集5

1.2.3　集合的基本运算5

1.2.4　文氏图6

1.2.5　主要的运算律6

1.2.6　集合运算成员表8

习题1.29

1.3　有限集合中元素的计数10

1.3.1　文氏图法计数10

1.3.2　容斥原理10

习题1.312

1.4　整数的基本性质12

1.4.1　带余除法与整除12

1.4.2　最大公因数和最小公倍数14

1.4.3　同余17

习题1.417

1.5　例题解析17

复习题119

第2章　命题逻辑21

2.1　命题与命题联结词21

2.1.1　命题21

2.1.2　命题联结词22

习题2.126

2.2　命题公式及其分类27

2.2.1　命题公式27

2.2.2　公式的赋值及分类28

习题2.230

2.3　等价演算30

2.3.1　基本等价式30

2.3.2　等价演算32

习题2.334

＊2.4　其他常用联结词及功能完备集35

2.4.1　其他常用联结词介绍35

2.4.2　联结词的功能完备集36

习题2.437

2.5.1　对偶38

2.5　对偶与范式38

2.5.2　范式39

2.5.3　主范式40

习题2.544

2.6　推理理论45

2.6.1　重言蕴含式45

2.6.2　形式证明46

习题2.649

＊2.7　命题逻辑在门电路中的应用介绍50

习题2.751

2.8　例题解析51

复习题254

第3章　谓词逻辑57

3.1　谓词逻辑的基本概念57

3.1.1　个体与谓词57

3.1.2　量词58

习题3.161

3.2　谓词合式公式及解释61

3.2.1　谓词公式62

3.2.2　谓词公式的解释63

3.2.3　谓词公式的类型64

习题3.265

3.3　谓词逻辑等值式66

习题3.369

3.4　谓词逻辑推理理论69

习题3.473

3.5　例题解析74

复习题378

4.1.1　有序对80

4.1 有序对与笛卡尔积80

第4章　关系80

4.1.2　笛卡尔积81

习题4.182

4.2　关系及其表示83

4.2.1　关系的基本概念83

4.2.2　关系矩阵和关系图84

习题4.285

4.3 复合关系与逆关系86

4.3.1　复合关系86

4.3.2　复合关系的性质87

4.3.3　关系的幂和逆关系88

习题4.389

4.4　关系的性质90

4.5 关系的闭包94

4.5.1　关系闭包的概念94

习题4.494

4.5.2　关系闭包的求法95

习题4.5100

4.6　等价关系100

4.6.1　集合的划分100

4.6.2　等价关系102

4.6.3　等价类102

习题4.6105

＊4.7　相容关系105

4.7.1　相容关系105

4.7.2　相容类106

习题4.7107

4.8　偏序关系107

4.8.1　偏序关系和拟序关系107

4.8.2　哈斯图109

4.8.3　全序关系和良序关系112

习题4.8113

4.9　例题解析113

复习题4120

第5章　函数121

5.1 函数的基本概念121

习题5.1123

5.2　特殊函数及特征函数124

5.2.1　特殊函数124

5.2.2　特征函数125

习题5.2127

5.3　逆函数与复合函数127

5.3.1　逆函数127

5.3.2　复合函数128

5.4.1　集合的势131

5.4　集合的势与无限集合131

习题5.3131

5.4.2　可数集132

习题5.4134

5.5　例题解析134

复习题5136

第6章　图论基础138

6.1 图的基本概念138

6.1.1　图的定义及相关概念139

6.1.2　结点的度140

6.1.3　完全图和补图142

6.1.4　子图与图的同构143

习题6.1145

6.2　图的连通性146

6.2.1　通路146

6.2.2　无向图和有向图的连通性148

6.2.3　割边和割点149

习题6.2149

6.3 图的矩阵表示150

6.3.1　无向图的关联矩阵150

6.3.2　无环有向图的关联矩阵151

6.3.3　有向图的邻接矩阵151

6.3.4　无向简单图的邻接矩阵153

6.3.5　有向图的可达矩阵153

习题6.3153

6.4　欧拉图与哈密尔顿图154

6.4.1　欧拉图154

6.4.2　哈密尔顿图158

习题6.4160

6.5.1　最短路问题161

6.5 图论的应用161

6.5.2　中国邮递员问题163

6.5.3　旅行售货员问题166

习题6.5168

6.6　例题解析168

复习题6171

第7章　特殊图类174

7.1 树174

7.1.1　树的定义及性质174

7.1.2　生成树176

7.1.3　最小生成树178

习题7.1179

7.2　根树180

7.2.1　根树及相关概念180

7.2.2　二元树181

7.2.3　二元树的一个应用——前缀码183

习题7.2186

7.3　二部图与匹配186

7.3.1　二部图的概念及性质186

7.3.2　二部图的匹配187

习题7.3188

7.4 平面图189

7.4.1　平面图的定义189

7.4.2　欧拉公式190

7.4.3　库拉图斯基定理192

习题7.4193

7.5　例题解析194

复习题7196

8.1　二元运算及其性质198

8.1.1　运算198

第8章　代数系统198

8.1.2　二元运算的性质199

8.1.3　代数系统的特殊元素201

习题8.1203

8.2　代数系统　子代数　积代数204

8.2.1　代数系统204

8.2.2　子代数205

8.2.3　积代数205

习题8.2206

8.3 同态与同构206

8.3.1　同态与同构的概念206

8.3.2　满同态的性质207

8.4　例题解析209

习题8.3209

复习题8211

第9章　特殊的代数系统212

9.1　半群与独异点212

9.1.1　半群212

9.1.2　独异点213

习题9.1214

9.2　群的定义与性质215

9.2.1　群的定义215

9.2.2　群的性质216

9.2.3　群的同态217

习题9.2218

9.3　循环群与置换群218

9.3.1　循环群218

9.3.2　置换群220

9.4　子群及其特征223

习题9.3223

习题9.4224

＊9.5　陪集　正规子群和商群225

9.5.1　子群的陪集225

9.5.2　正规子群227

9.5.3　商群228

习题9.5229

＊9.6　环和域229

9.6.1　环的定义及其性质229

9.6.2　子环231

9.6.3　整环和域232

习题9.6234

9.7　例题解析234

复习题9235

10.1.1　格的定义237

10.1　格237

第10章　格和布尔代数237

10.1.2　格的对偶原理和性质239

习题10.1241

10.2　格的代数定义241

习题10.2243

10.3　特殊的格243

10.3.1　分配格243

10.3.2　有界格和有补格244

10.3.3　有补分配格246

习题10.3246

10.4　布尔代数247

习题10.4249

10.5　例题解析249

复习题10251

参考文献252