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第一章 绪论1

1.1数值分析的任务1

1.2误差基础知识2

1.2.1误差的来源2

1.2.2误差与有效数字4

1.2.3数值运算的误差估计8

1.3误差定性分析及数值运算中的若干原则9

1.3.1病态问题与条件数9

1.3.2算法的数值稳定性11

1.3.3数值运算中的若干原则13

评注15

应用：Koch分形曲线的生成16

习题18

数值实验题19

第二章 非线性方程求根20

2.1概述20

2.2二分法21

2.3不动点迭代的基本理论24

2.3.1不动点迭代24

2.3.2不动点迭代的全局收敛性28

2.3.3不动点迭代的局部收敛性与收敛阶32

2.3.4不动点迭代的加速35

2.4 Newton迭代39

2.4.1 Newton迭代及其几何意义39

2.4.2 Newton迭代的收敛性40

2.5 Newton迭代的变形46

2.5.1求重根的修正Newton法46

2.5.2 Newton下山法48

2.5.3弦割法50

评注52

应用：空中电缆（缆绳）长度的计算53

习题55

数值实验题56

第三章 解线性代数方程组的直接法58

3.1 Gauss消元法59

3.1.1 Gauss顺序消元法59

3.1.2 Gauss主元素消元法62

3.2矩阵三角分解法63

3.2.1直接三角分解法64

3.2.2列主元三角分解法68

3.2.3平方根法71

3.2.4追赶法74

3.3方程组的性态与误差分析75

3.3.1向量和矩阵的范数75

3.3.2方程组的性态与矩阵条件数80

3.3.3病态方程组的求解82

评注83

应用：生产计划的安排84

习题85

数值实验题86

第四章 解线性代数方程组的迭代法88

4.1向量序列和矩阵序列的极限88

4.2迭代法的基本理论90

4.2.1简单迭代及其收敛性91

4.2.2 Gauss-Seidel迭代及其收敛性93

4.3几种常用的迭代法95

4.3.1 Jacobi迭代95

4.3.2基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代97

4.3.3逐次超松弛迭代98

评注102

应用：薄板的热传导102

习题103

数值实验题104

第五章 函数插值106

5.1插值问题与插值多项式106

5.1.1插值问题106

5.1.2插值多项式106

5.2 Lagrange插值108

5.2.1 Lagrange插值基函数108

5.2.2 Lagrange插值公式109

5.3 Newton插值111

5.3.1差商及其性质111

5.3.2 Newton插值公式112

5.4等距节点插值113

5.4.1差分算子及其性质113

5.4.2等距节点插值公式115

5.5 Hermite插值117

5.5.1 Hermite插值多项式的构造117

5.5.2 Hermite插值多项式的存在唯一性以及插值余项119

5.5.3带不完全导数的Hermite插值多项式举例119

5.6分段低次插值120

5.6.1高次插值评述120

5.6.2分段插值122

5.7三次样条插值123

5.7.1样条插值函数的定义123

5.7.2三次样条插值函数的构造124

5.7.3三次样条插值函数的收敛性128

评注128

应用：机翼曲线绘制129

习题130

数值实验题131

第六章 函数的最佳平方逼近与数据的最小二乘拟合133

6.1预备知识133

6.1.1赋范线性空间与内积空间133

6.1.2正交多项式系136

6.2连续函数的最佳平方逼近144

6.2.1最佳平方逼近问题的求解144

6.2.2基于正交函数基的最佳平方逼近148

6.3离散数据的曲线拟合150

6.3.1数据拟合模型及其求解150

6.3.2离散Gram矩阵的讨论152

6.3.3用关于点集的正交函数系作最小二乘曲线拟合156

评注158

应用：钢包侵蚀预测158

习题161

数值实验题162

第七章 数值积分与数值微分163

7.1数值积分的基本概念163

7.1.1数值求积公式的代数精度163

7.1.2求积公式的收敛性与稳定性164

7.2插值型求积公式165

7.2.1插值型求积公式165

7.2.2 Newton-Cotes求积公式166

7.2.3几种低阶求积公式的截断误差168

7.3复化求积算法169

7.3.1复化求积算法169

7.3.2误差的后验近似估计171

7.4 Romberg求积算法173

7.4.1 Romberg求积算法173

7.4.2外推技巧175

7.5 Gauss型求积公式176

7.5.1 Gauss型求积公式的一般理论176

7.5.2几种常见的Gauss型求积公式179

7.6数值微分182

7.6.1插值型求导公式182

7.6.2 Taylor级数展开法183

评注184

应用：估计水塔的水流量185

习题187

数值实验题187

第八章 常微分方程初值问题的数值解法189

8.1引言189

8.1.1问题及基本假设189

8.1.2离散化方法190

8.2几种简单的单步法190

8.2.1显式Euler公式190

8.2.2隐式Euler公式192

8.2.3梯形公式194

8.2.4 Euler预测校正公式195

8.2.5单步法的局部截断误差和阶196

8.3 Runge-Kutta方法198

8.3.1 Taylor级数展开法198

8.3.2 Runge-Kutta方法200

8.4单步法的收敛性、相容性与稳定性205

8.4.1收敛性205

8.4.2相容性206

8.4.3稳定性207

8.5线性多步法210

8.5.1线性多步法的一般公式210

8.5.2构造线性多步公式的数值积分法211

8.5.3构造线性多步公式的Taylor级数展开法213

评注216

应用：人口增长问题217

习题219

数值实验题220

第九章 矩阵特征值与特征向量的计算221

9.1乘幂法与反幂法221

9.1.1乘幂法221

9.1.2反幂法226

9.2 Jacobi方法227

9.2.1 Jacobi方法228

9.2.2 Jacobi方法的变形234

9.3 Givens变换与Householder变换234

9.3.1 Givens矩阵与Householder矩阵234

9.3.2实对称矩阵的三对角化239

9.4实对称三对角矩阵特征值计算的二分法243

9.4.1特征值计算的二分法244

9.4.2特征向量的计算249

9.5 QR算法250

9.5.1矩阵的QR分解250

9.5.2 QR算法及其收敛性252

9.5.3带原点平移的QR算法257

评注257

应用：弹簧-重物系统的频率计算258

习题259

数值实验题260

习题答案262

参考文献268