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1 应用与方法概述1

1.1 什么是偏微分方程2

1.2 求解并解释偏微分方程7

2 傅里叶级数17

2.1 周期函数18

2.2 傅里叶级数26

2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数38

2.4 半幅展开：余弦级数和正弦级数50

2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式53

2.6 傅里叶级数的复数形式60

2.7 受迫振动69

收敛性的补充内容77

2.8 傅里叶级数表示定理的证明77

2.9 一致收敛性和傅里叶级数85

2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性94

3 直角坐标中的偏微分方程103

3.1 物理和工程中的偏微分方程104

3.2 建模：弦振动和波动方程109

3.3 一维波动方程的求解：分离变量法114

3.4 达朗贝尔方法126

3.5 一维热传导方程135

3.6 棒中的热传导：各种边界条件146

3.7 二维波动方程和热传导方程155

3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程163

3.9 泊松方程：特征函数展开法170

3.10 诺伊曼条件和罗宾条件180

3.11 最大值原理187

4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程193

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子194

4.2 圆膜的振动：对称情况198

4.3 圆膜的振动：一般情况207

4.4 圆域中的拉普拉斯方程216

4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程228

4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程231

关于贝塞尔函数的补充内容4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数237

4.8 贝塞尔级数展开248

4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式261

5 球面坐标中的偏微分方程269

5.1 问题和方法概述270

5.2 对称狄利克雷问题274

5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题281

5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用291

关于勒让德函数的补充内容5.5 勒让德微分方程300

5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开308

5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开319

6 施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用325

6.1 正交函数326

6.2 施图姆-刘维尔理论333

6.3 悬链346

6.4 四阶施图姆-刘维尔理论353

6.5 梁的弹性振动和屈曲360

6.6 双调和算子371

6.7 圆板的振动377

7 傅里叶变换及其应用389

7.1 傅里叶积分表示390

7.2 傅里叶变换398

7.3 傅里叶变换法411

7.4 热传导方程和高斯核420

7.5 狄利克雷问题和泊松积分公式429

7.6 傅里叶余弦变换和正弦变换433

7.7 半无限区间上的问题440

7.8 广义函数445

7.9 非齐次热传导方程461

7.10 杜阿梅尔原理471

8 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用479

8.1 拉普拉斯变换480

8.2 拉普拉斯变换的进一步性质491

8.3 拉普拉斯变换法502

8.4 汉克尔变换及其应用508

9 有限差分数值方法515

9.1 热传导方程的有限差分法516

9.2 波动方程的有限差分法525

9.3 拉普拉斯方程的有限差分法533

9.4 拉普拉斯方程的迭代法541

10 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用546

10.1 抽样定理547

10.2 偏微分方程与抽样定理555

10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换559

10.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换567

11 量子力学引论573

11.1 薛定谔方程574

11.2 氢原子581

11.3 海森伯测不准原理590

关于正交多项式的补充内容11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式597

12 格林函数和共形映射611

12.1 格林定理和恒等式612

12.2 调和函数和格林恒等式622

12.3 格林函数629

12.4 圆域和上半平面的格林函数638

12.5 解析函数645

12.6 利用共形映射求解狄利克雷问题663

12.7 格林函数与共形映射674

12.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解684