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引言1

第一章 矩阵和行列式3

第1讲 矩阵的概念和运算5

1.1矩阵的定义5

1.2矩阵的加法8

1.3矩阵的数乘8

1.4矩阵的乘法9

1.5矩阵的转置13

思考练习题114

习题116

第2讲 行列式的概念17

2.1二阶和三阶行列式17

2.2排列与逆序18

2.3n阶行列式的定义21

思考练习题225

习题226

第3讲 行列式的性质28

3.1行列式的性质28

3.2方阵乘积的行列式34

思考练习题337

习题337

第4讲 行列式展开定理39

4.1行列式按一行展开的公式39

4.2行列式计算的例43

4.3按某几行展开定理——拉普拉斯定理48

思考练习题450

习题451

第5讲 矩阵的逆和初等变换54

5.1逆矩阵的概念54

5.2矩阵的求逆公式57

5.3矩阵的初等变换和初等矩阵60

思考练习题564

习题565

第6讲 矩阵的相抵标准形和矩阵求逆的初等变换法66

6.1矩阵的相抵与相抵标准形66

6.2求逆矩阵的初等变换法70

6.3分块矩阵的初等变换72

思考练习题675

习题675

第7讲 解线性方程组的克拉默法则和高斯消元法77

7.1解线性方程组的克拉默法则77

7.2解线性方程组的消元法81

7.3齐次线性方程组的解86

思考练习题787

习题788

第8讲 第一章复习与补充89

8.1矩阵乘积的可交换性89

8.2矩阵乘积的行列式91

8.3行列式的计算技巧总结94

8.4伴随矩阵的公式96

8.5矩阵的三角分解97

习题899

复习题1100

第二章 几何空间与线性空间103

第9讲 几何空间和向量的线性运算105

9.1几何空间的性质和向量的线性运算105

9.2直角坐标系107

9.3若干几何问题108

9.4一般坐标系（仿射坐标系）111

思考练习题9112

习题9113

第10讲 几何空间中向量的数量积和向量积114

10.1向量的数量积（内积，点积）114

10.2向量的数量积的计算方法117

10.3向量的向量积（外积，叉积）118

附录A向量积的分配律的证明120

思考练习题10121

习题10121

第11讲 三维空间中的向量的混合积和平面方程123

11.1向量的混合积123

11.2平面方程125

11.3几个平面的位置关系128

附录B向量的复合积130

思考练习题11132

习题11132

第12讲 三维空间中的直线方程134

12.1直线方程134

12.2直线与平面的位置关系136

12.3两直线的位置关系137

12.4点到直线的距离140

思考练习题12142

习题12142

第13讲n维向量空间144

13.1 n维向量和n维向量空间144

13.2向量组的线性组合与线性表出146

13.3向量组的线性相关性147

13.4基与坐标，坐标变换与过渡矩阵149

思考练习题13153

习题13154

第14讲 向量组的线性相关性和秩155

14.1关于向量组的线性相关性的一些补充155

14.2两个向量组的关系156

14.3向量组的极大线性无关组和秩158

14.4子空间的维数和基162

思考练习题14162

习题14163

第15讲 矩阵的秩164

15.1矩阵的秩的概念164

15.2矩阵的秩和向量组的秩的关系166

15.3矩阵的运算对秩的影响168

思考练习题15171

习题15172

第16讲 线性空间173

16.1线性空间的定义173

16.2基与坐标，坐标变换与过渡矩阵175

16.3线性空间与向量空间的同构177

附录C关于多项式的概念179

思考练习题16180

习题16180

第17讲 欧氏空间181

17.1内积与欧氏空间181

17.2内积的性质182

17.3标准正交基和正交矩阵184

17.4施密特标准正交化方法185

17.5可逆矩阵的QR分解187

思考练习题17189

习题17189

选讲Ⅰ 第二章复习与补充191

Ⅰ.1空间概念及有关问题191

Ⅰ.2几何空间中向量之间的乘积，平面与直线方程193

Ⅰ.3向量组的线性相关性，秩194

第二章复习题198

第三章 线性方程组的解的结构201

第18讲 齐次线性方程组的解的结构203

18.1齐次线性方程组的解的性质203

18.2齐次线性方程组的基础解系204

思考练习题18210

习题18210

第19讲 非齐次线性方程组的解的结构212

19.1非齐次线性方程组有解的条件212

19.2非齐次线性方程组有解时解的结构213

19.3矩阵方程的求解219

思考练习题19221

习题19221

选讲Ⅱ矛盾线性方程组的近似解223

Ⅱ.1近似解的标准——最小距离223

Ⅱ.2最小二乘法的应用226

附录D最小二乘法的分析推导229

习题Ⅱ230

第三章复习题230

第四章 矩阵的特征值问题和相似对角化问题233

第20讲 矩阵的特征值与特征向量235

20.1方阵的特征值与特征向量235

20.2方阵的特征多项式及其性质238

20.3特征向量的性质与特征子空间241

20.4特征多项式的哈密尔顿-凯莱定理243

思考练习题20244

习题20245

第21讲 矩阵的相似与对角化246

21.1矩阵的相似246

21.2矩阵的对角化问题247

21.3矩阵对角化的应用与例251

思考练习题21254

习题21254

第22讲 实对称矩阵的对角化256

22.1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质256

22.2实对称矩阵的对角化258

22.3实对称矩阵对角化的计算方法259

思考练习题22261

习题22262

第23讲 线性变换263

23.1线性变换的概念263

23.2线性变换的矩阵265

23.3线性变换在不同基下的矩阵267

思考练习题23268

习题23269

第24讲 正交变换与正交矩阵271

24.1正交变换271

24.2正交变换的运算和分类273

24.3正交变换（正交矩阵）的特征值276

思考练习题24278

习题24278

选讲Ⅲ 第四章复习与补充280

第四章复习题284

第五章 二次型与二次曲面287

第25讲 三维空间中的二次曲面289

25.1空间曲面方程与平面截割法289

25.2三维空间中的二次曲面291

25.3三维空间中的曲线方程294

思考练习题25296

习题25296

第26讲 二次型与它的标准形297

26.1二次型及其矩阵表示297

26.2二次型的线性替换和矩阵的合同298

26.3二次型的标准形和化二次型为标准形的配方法299

思考练习题26303

习题26303

第27讲 化简二次型的正交基变换法，惯性定理305

27.1化简二次型的正交基变换法305

27.2化简二次型的初等变换法308

27.3二次型的规范形和惯性定理309

思考练习题27311

习题27312

第28讲 二次型的正定性313

28.1正定二次型的概念313

28.2正定二次型的行列式判断方法315

28.3正定矩阵的运算317

思考练习题28318

习题28319

第29讲 二次型与二次曲面的分类320

29.1二次型的分类320

29.2几何空间中的二次曲面的分类321

29.3二次型的若干应用324

思考练习题29326

习题29326

第30讲 总复习328

30.1矩阵与行列式328

30.2线性方程组求解问题330

30.3二次型与二次曲面331

期末考试举例332

参考文献338