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第1章 函数的极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 函数4

1.1.3 反函数与复合函数9

1.1.4 初等函数12

1.2 数列的极限15

1.2.1 数列的概念15

1.2.2 数列极限的概念17

1.2.3 收敛数列的性质19

1.3 函数的极限21

1.3.1 函数极限的概念21

1.3.2 函数极限的性质26

1.4 极限的运算法则27

1.4.1 无穷小量与无穷大量28

1.4.2 函数极限的运算规则31

1.4.3 复合函数极限的运算法则35

1.5 极限存在准则与两个重要极限38

1.5.1 极限存在准则38

1.5.2 两个重要极限39

1.6 无穷小量的比较44

1.6.1 无穷小量的比较44

1.6.2 等价无穷小量的性质及应用45

1.7 函数的连续性与间断点47

1.7.1 函数连续的概念48

1.7.2 函数的间断点50

1.8 连续函数的运算与初等函数的连续性53

1.8.1 连续函数的运算性质53

1.8.2 初等函数的连续性54

1.9 闭区间上连续函数的性质56

1.9.1 最大值最小值定理56

1.9.2 介值定理57

复习题一59

第2章 导数与微分64

2.1 导数的概念64

2.1.1 两个实例64

2.1.2 导数的定义65

2.1.3 求导数举例66

2.1.4 导数的几何意义68

2.1.5 可导与连续的关系69

2.2 导数的运算法则70

2.2.1 函数和或差的导数70

2.2.2 函数积的导数71

2.2.3 函数商的导数72

2.3 反函数与复合函数的导数74

2.3.1 反函数的求导法则74

2.3.2 复合函数的求导法则76

2.4 初等函数的导数公式79

2.4.1 基本初等函数的导数公式79

2.4.2 函数的和差积商的求导法则79

2.4.3 反函数的求导法则79

2.4.4 复合函数的求导法则79

2.5 高阶导数82

2.5.1 高阶导数的定义82

2.5.2 高阶导数的运算法则84

2.6 隐函数求导和对数求导法86

2.6.1 隐函数的导数86

2.6.2 对数求导法88

2.7 参数方程所确定的函数的导数89

2.7.1 参数方程所确定的函数的导数90

2.7.2 参数方程所确定的函数的二阶导数91

2.8 微分92

2.8.1 微分的概念93

2.8.2 函数可微的条件93

2.8.3 微分的几何意义95

2.8.4 微分的基本公式及运算法则95

2.8.5 一阶微分的形式不变性96

2.9 微分在近似计算中的应用99

2.9.1 计算函数值改变量的近似值99

2.9.2 计算函数值的近似值100

2.9.3 误差估计101

复习题二102

第3章 微分中值定理与导数的应用106

3.1 微分中值定理106

3.1.1 罗尔定理106

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理107

3.1.3 柯西中值定理110

3.2 洛必达法则110

3.2.1 洛必达法则110

3.2.2 “0/0”和“∞／∞”型未定式的求法111

3.2.3 “0·∞”，“∞—∞”，“0 0”，“1∞”，“∞0”型未定式的求法112

3.3 函数的单调性114

3.3.1 函数的单调性114

3.3.2 函数单调性的应用116

3.4 函数的极值与最大值最小值117

3.4.1 函数的极值117

3.4.2 函数的最大值和最小值120

3.5 曲线的凹凸性与拐点123

3.5.1 曲线凹凸性与拐点的定义123

3.5.2 曲线的凹凸性与拐点的判断124

3.6 函数图形的描绘126

3.6.1 渐近线127

3.6.2 函数的作图128

3.7 曲率131

3.7.1 弧的微分132

3.7.2 曲率及其计算公式133

3.7.3 曲率圆与曲率半径135

复习题三136

第4章 不定积分140

4.1 不定积分的概念与运算法则140

4.1.1 原函数与不定积分的概念140

4.1.2 不定积分的性质及运算法则141

4.1.3 不定积分的几何意义141

4.1.4 积分基本公式142

4.1.5 直接积分法143

4.2 不定积分换元积分法144

4.2.1 第一类换元积分法145

4.2.2 第二类换元积分法148

4.3 不定积分的分部积分法152

4.4 有理函数积分法156

4.4.1 有理函数积分法简介156

4.4.2 真分式部分分解的步骤157

4.5 积分表的使用159

复习题四161

第5章 定积分163

5.1 定积分的概念与性质163

5.1.1 定积分问题的引例163

5.1.2 定积分的概念164

5.1.3 定积分的几何意义165

5.1.4 定积分的性质167

5.2 牛顿-莱布尼茨公式169

5.2.1 积分上限函数及其导数169

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式171

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法173

5.3.1 定积分的换元积分法173

5.3.2 定积分的分部积分法175

5.4 广义积分177

5.4.1 无穷区间上的广义积分177

5.4.2 无界函数的广义积分179

5.4.3 Г-函数181

5.5 定积分的近似计算简介182

5.5.1 梯形法182

5.5.2 辛卜生求积公式183

复习题五185

第6章 定积分的应用187

6.1 定积分的微元法187

6.2 平面图形的面积189

6.2.1 在直角坐标下的情形189

6.2.2 在极坐标系下的情形191

6.3 几何体的体积193

6.3.1 平行截面面积已知的几何体的体积193

6.3.2 旋转体的体积194

6.4 平面曲线的弧长196

6.4.1 方程为y=f（x）的曲线的弧196

6.4.2 参数方程所确定的曲线的弧长197

6.4.3 极坐标方程所确定的曲线的弧长198

6.5 定积分在物理学中的应用199

6.5.1 功的计算199

6.5.2 力的计算201

6.5.3 交流电中的平均值问题203

复习题六205

第7章 常微分方程207

7.1 微分方程的基本概念207

7.2 可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程210

7.2.1 可分离变量的微分方程210

7.2.2 一阶线性微分方程212

7.3 可降阶的高阶的微分方程与齐次微分方程216

7.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程216

7.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程216

7.3.3 y″＝f（y,y′）型微分方程217

7.3.4 齐次微分方程218

7.4 二阶线性微分方程221

7.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构221

7.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构222

7.5 二阶常系数线性微分方程的解法224

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法224

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法227

7.6 微分方程的应用231

7.6.1 指数增长与指数衰减模型231

7.6.2 牛顿冷却定律的应用233

7.6.3 一个几何问题234

7.6.4 探照灯反光镜的设计问题234

7.6.5 振动问题235

复习题七239

参考文献243

附录244

A 常用积分公式244

B 基本三角函数公式252