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第一篇 一元微积分1

第一章 函数、极限与连续1

第一节 函数1

一、函数的概念1

二、函数的基本性态3

三、反函数4

四、初等函数5

第二节 极限10

一、数列极限10

二、函数极限11

三、无穷小与无穷大14

第三节 极限的四则运算法则15

第四节 两个重要极限18

一、极限存在准则18

二、两个重要极限20

三、无穷小的阶21

第五节 函数的连续性23

一、函数连续的概念23

二、函数的间断点24

第六节 初等函数的连续性26

一、连续函数的四则运算26

二、反函数与复合函数的连续性26

三、初等函数的连续性27

四、闭区间上连续函数的性质28

第二章 导数与微分31

第一节 导数的概念31

一、导数概念31

二、求导数举例33

三、导数的几何意义35

四、可导与连续的关系36

第二节 基本求导法则37

一、四则求导法则37

二、反函数求导法则38

三、复合求导法则39

四、基本导数公式40

五、初等函数的导数41

第三节 高阶导数42

第四节 隐函数与参数求导法则44

一、隐函数求导法则44

二、参数求导法则45

第五节 函数的微分46

一、微分的概念46

二、微分的运算法则49

第六节 微分学中值定理51

一、罗尔（Rolle）定理51

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理51

三、柯西（Cauchy）中值定理53

第三章 不定积分55

第一节 不定积分的概念与性质55

一、原函数与不定积分的概念55

二、基本积分公式56

三、不定积分的性质57

第二节 换元积分法59

一、第一换元法（凑微分法）59

二、第二换元法62

第三节 分部积分法65

第四章 定积分71

第一节 定积分的概念71

一、两个实例71

二、定积分的概念73

三、定积分的几何意义74

第二节 定积分的性质75

第三节 微积分基本定理77

一、变上限定积分78

二、牛顿-莱布尼茨公式79

第四节 定积分的计算80

一、定积分的换元法81

二、定积分的分部积分法83

第五节 广义积分85

一、无穷限的广义积分86

二、无界函数的广义积分87

第二篇 一元微积分的应用89

第五章 导数与微分的应用89

第一节 未定式极限的求法89

第二节 函数单调性的判别法93

第三节 函数极值与最值的求法95

第四节 曲线凹凸及拐点的判别法101

第五节 函数作图法104

第六节 微分的应用107

一、弧微分公式107

二、微分在近似计算中的应用108

第七节 导数的经济学应用109

一、成本函数与收入函数109

二、边际分析109

三、弹性分析111

第六章 定积分的应用115

第一节 平面图形面积的求法115

一、直角坐标情形115

二、参数方程情形117

三、极坐标情形118

第二节 体积的求法120

一、旋转体的体积120

二、已知截面立体的体积121

第三节 平面曲线弧长的求法123

一、直角坐标情形123

二、参数方程情形124

三、极坐标情形124

第四节 定积分的物理学应用125

一、变力沿直线所作的功125

二、液体静压力127

第五节 定积分的经济学应用129

一、已知边际求总量129

二、资金流量及其现值130

第七章 常微分方程与数学建模134

第一节 基本概念134

第二节 一阶微分方程的解法136

一、可分离变量的一阶微分方程136

二、齐次方程138

三、数学建模举例139

第三节 一阶线性微分方程的解法142

第四节 可降阶的高阶微分方程的解法147

第五节 二阶线性微分方程解的结构148

一、两个数学模型实例148

二、二阶线性微分方程及其解的结构150

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程152

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程154

第三篇 多元微积分及其应用158

第八章 向量与空间解析几何158

第一节 空间直角坐标系与向量158

一、空间直角坐标系158

二、向量及其线性运算159

三、向量的坐标161

第二节 向量的数量积与向量积164

一、向量的数量积164

二、向量的向量积166

第三节 平面方程169

第四节 曲面与曲线171

一、曲面方程的概念171

二、旋转曲面173

三、柱面174

四、二次曲面175

五、空间曲线的方程177

第九章 多元函数微分学及其应用181

第一节 多元函数的极限与连续181

一、多元函数概念181

二、二元函数的极限与连续183

第二节 偏导数187

一、偏导数概念187

二、偏导数的几何意义188

三、高阶偏导数189

第三节 全微分191

一、可微的概念与条件191

二、全微分的应用194

第四节 多元复合微分法则195

一、多元复合求导法则195

二、隐函数微分法则198

第五节 偏导数的几何应用200

一、空间曲线的切线与法平面200

二、曲面的切平面与法线202

第六节 多元函数的极值问题204

一、二元函数极值的概念及求法204

二、最大值与最小值的求法206

三、条件极值与拉格朗日乘数法207

第十章 多元函数积分学及其应用210

第一节 二重积分的概念及性质210

一、两个实例210

二、二重积分的概念212

三、二重积分的性质212

第二节 二重积分的计算214

一、直角坐标情形214

二、极坐标情形220

第三节 二重积分的应用224

一、曲面的面积224

二、平面薄片的质心226

第四节 对坐标的曲线积分228

一、概念与性质228

二、计算方法231

第五节 格林公式及其应用234

一、格林公式234

二、平面曲线积分与路径无关的条件236

三、二元函数的全微分求积分237

第四篇 线性代数240

第十一章 行列式240

第一节 行列式的概念240

一、2阶和3阶行列式240

二、n阶行列式241

第二节 行列式的性质244

第十二章 矩阵251

第一节 矩阵概念251

第二节 矩阵运算254

一、矩阵加法254

二、数与矩阵的乘法255

三、矩阵与矩阵的乘法256

四、矩阵的转置260

五、方阵的行列式261

第三节 逆矩阵262

一、逆矩阵的概念及性质262

二、逆矩阵的存在性及求法262

三、逆矩阵对线性方程组的应用264

第四节 矩阵的秩266

第五节 矩阵的初等变换267

一、初等变换与初等矩阵267

二、初等变换与逆矩阵269

三、初等变换与矩阵的秩271

第十三章 线性方程组274

第一节 高斯消元法274

一、高斯消元法示例274

二、高斯消元法的矩阵表示275

三、线性方程组解的判定及求法277

第二节 向量的线性关系281

一、向量的概念及运算281

二、向量的线性相关性282

第三节 线性方程组解的结构289

一、齐次线性方程组289

二、非齐次线性方程组292

第五篇 概率论296

第十四章 随机事件及其概率296

第一节 随机事件296

一、随机试验296

二、随机事件的概念297

三、事件间的关系及运算298

第二节 事件的概率302

一、古典概率302

二、几何概率305

三、概率的统计定义306

四、概率的公理化定义308

第三节 条件概率311

一、条件概率的概念311

二、概率的乘法公式313

三、全概率公式314

第四节 事件的独立性316

一、事件的独立性316

二、伯努利概型及二项概率公式318

第十五章 随机变量及其概率分布322

第一节 随机变量及其分布函数322

一、随机变量的概念322

二、随机变量的分布函数323

第二节 离散型随机变量326

一、离散型分布的概念326

二、常用的离散型分布327

第三节 连续型随机变量330

第四节 常用的连续型分布334

一、均匀分布334

二、指数分布335

三、正态分布336

第五节 随机变量函数的分布340

一、离散型340

二、连续型342

第十六章 随机变量的数字特征344

第一节 数学期望344

一、离散型数学期望344

二、连续型数学期望346

三、随机变量函数的数学期望347

第二节 方差349

一、方差的概念349

二、方差的简单性质351

第三节 常用分布的数学期望与方差353

一、（0-1）分布353

二、二项分布353

三、泊松分布354

四、均匀分布355

五、指数分布355

六、正态分布356

附录359

Ⅰ 希腊字母359

Ⅱ代数359

Ⅲ三角函数360

Ⅳ初等几何362

Ⅴ几种常用的曲线363

Ⅵ积分公式364

Ⅶ概率论374

习题答案378