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引言1

第一章 波动方程2

1方程的导出、定解条件2

1.弦振动方程的导出2

2.定解条件5

3.定解问题适定性概念7

习题8

2达朗贝尔公式、波的传播8

1.叠加原理8

2.弦振动方程的达朗贝尔解法9

3.传播波11

4.依赖区间、决定区域和影响区域11

5.齐次化原理（13）习题16

3初边值问题的分离变量法17

1.分离变量法17

2.解的物理意义21

3.非齐次方程的情形22

4.非齐次边界条件的情形23

习题23

4高维波动方程的柯西问题25

1.膜振动方程的导出25

2.定解条件的提法27

3.球平均法28

4.降维法31

5.非齐次波动方程柯西问题的解33

习题34

5波的传播与衰减35

1.依赖区域、决定区域和影响区域35

2.惠更斯（Huygens）原理、波的弥散36

3.波动方程解的衰减37

习题39

6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性39

1.振动的动能和位能39

2.初边值问题解的唯一性与稳定性40

3.柯西问题解的唯一性与稳定性43

习题46

第二章 热传导方程47

1热传导方程及其定解问题的导出47

1.热传导方程的导出47

2.定解问题的提法48

3.扩散方程50

习题50

2初边值问题的分离变量法51

1.一个空间变量的情形51

2.圆形区域上的热传导问题54

习题55

3柯西问题56

1.傅里叶变换及其基本性质56

2.热传导方程柯西问题的求解59

3.解的存在性60

习题62

4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性63

1.极值原理63

2.初边值问题解的唯一性和稳定性64

3.柯西问题解的唯一性和稳定性66

习题67

5解的渐近性态68

1.初边值问题解的渐近性态68

2.柯西问题解的渐近性态69

习题69

第三章 调和方程71

1建立方程、定解条件71

1.方程的导出71

2.定解条件和定解问题73

3.变分原理74

习题77

2格林公式及其应用78

1.格林公式78

2.平均值定理80

3.极值原理81

4.第一边值问题解的唯一性及稳定性82

习题83

3格林函数83

1.格林函数及其性质83

2.静电源像法85

3.解的验证88

4.单连通区域的格林函数90

5.调和函数的基本性质91

习题94

4强极值原理、第二边值问题解的唯一性95

1.强极值原理95

2.第二边值问题解的唯一性97

3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性98

习题99

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结100

1二阶线性方程的分类100

1.两个自变量的方程100

2.两个自变量的二阶线性方程的化简100

3.方程的分类103

4.例104

5.多个自变量的方程的分类105

习题107

2二阶线性方程的特征理论107

1.特征概念107

2.特征方程108

3.例110

习题112

3三类方程的比较112

1.线性方程的叠加原理112

2.解的性质的比较114

3.定解问题提法的比较116

习题119

4先验估计120

1.椭圆型方程解的最大模估计120

2.热传导方程解的最大模估计121

3.双曲型方程解的能量估计122

4.抛物型方程解的能量估计124

5.椭圆型方程解的能量估计125

习题127

第五章 一阶偏微分方程组129

1引言129

1.一阶偏微分方程组的例子129

2.一阶方程组与高阶方程的关系131

习题132

2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论133

1.特征方程、特征线133

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类134

3.将严格双曲型方程组化为对角型135

习题137

3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题138

1.化为积分方程组138

2.柯西问题解的存在性与唯一性139

3.对初始条件的连续依赖性142

4.依赖区间、决定区域和影响区域142

5.关于柯西问题提法正确性的附注143

习题144

4两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题145

1.广义柯西问题145

2.古尔萨（Goursat ）问题146

3.一般角状区域上的边值问题146

习题147

5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅（ Cauchy-KoBaπeacKaя）定理148

1.幂级数解法148

2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理149

习题153

第六章 广义解与广义函数解155

1广义解155

1.研究广义解的必要性155

2.强解155

3.弱解157

习题158

2广义函数的概念158

1.广义函数的物理背景158

2.广义函数的数学概念159

3.基本函数空间160

4. ？’（Rn） ,？’（Rn ）,？’（Rn）广义函数162

习题163

3广义函数的性质与运算164

1.广义函数的极限164

2.广义函数的导数164

3.广义函数的乘子165

4.广义函数的卷积166

习题167

4广义函数的傅里叶变换168

1.?'（Rn）上的傅里叶变换168

2.?'（Rn）上的傅里叶变换169

习题171

5基本解171

1.柯西问题的基本解171

2.调和方程的基本解174

3.其它类型的基本解176

习题176

第七章 偏微分方程的数值解177

1调和方程狄利克雷问题的数值解177

1.有限差分法177

2.元体平衡法179

3.有限元素法（里茨（Ritz）法）182

4.有限元素法（伽辽金（Галёркин法）184

习题185

2热传导方程的差分法186

1.一维热传导方程的显式差分格式186

2.差分格式的收敛性和稳定性187

3.隐式格式及其稳定性（189）习题190

3波动方程的差分法190

1.波动方程初边值问题的差分格式190

2.CFL条件（柯朗-弗里德里希斯-勒维（Courant-Friedrichs-Lewy）条件）191

习题192

附录I傅里叶级数系数的估计194

附录Ⅱ张紧薄膜的张力为常值的证明196

附录Ⅲ特殊函数198