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第1章 函数、极限与连续1

1.0 实数概述1

1.0.1 数的扩充1

1.0.2 实数的性质2

1.0.3 区间与邻域2

1.1 函数3

1.1.1 函数概念3

1.1.2 函数的几种特性5

1.1.3 复合函数与反函数7

1.1.4 初等函数9

思考题10

习题1.111

1.2 极限11

1.2.1 数列极限12

1.2.2 函数极限16

1.2.3 函数极限的性质19

1.2.4 无穷小量与无穷大量24

思考题28

习题1.228

1.3 函数的连续性30

1.3.1 函数的连续与间断30

1.3.2 初等函数的连续性33

1.3.3 闭区间上连续函数的性质34

思考题36

习题1.336

1.4 连续函数的应用举例——椅子平稳的数学模型37

1.4.1 模型假设37

1.4.2 模型建立37

1.4.3 模型求解38

1.4.4 评注38

小结38

复习题139

微积分发展史略40

第2章 导数与微分43

2.1 导数的概念43

2.1.1 导数产生的实际背景43

2.1.2 导数的定义44

2.1.3 导数的几何意义47

2.1.4 可导与连续的关系47

思考题49

习题2.149

2.2 导数的基本公式和运算法则49

2.2.1 基本初等函数的导数49

2.2.2 函数的和、差、积、商的导数51

2.2.3 复合函数的导数53

2.2.4 反函数的导数55

2.2.5 隐函数的导数56

2.2.6 对数求导法59

思考题60

习题2.260

2.3 高阶导数62

思考题65

习题2.365

2.4 微分66

2.4.1 微分概念66

2.4.2 微分的几何意义68

2.4.3 微分公式和微分法则68

2.4.4 微分形式的不变性69

2.4.5 微分的应用70

思考题72

习题2.472

2.5 变化率问题举例72

2.5.1 化学反应速度问题72

2.5.2 种群增长的变化率73

2.5.3 经济学问题74

小结75

复习题276

牛顿小传77

第3章 中值定理及导数应用80

3.1 微分中值定理80

拉格朗日小传83

思考题84

习题3.185

3.2 洛比达法则85

3.2.1 0/0型不定式85

3.2.2 ∞/∞型不定式87

3.2.3 其他类型的不定式88

思考题90

习题3.290

3.3 泰勒公式91

3.3.1 泰勒公式91

3.3.2 几个常用的麦克劳林公式95

3.3.3 泰勒公式的应用96

思考题98

习题3.398

3.4 函数的单调性与极值99

3.4.1 函数单调性的判别法99

3.4.2 函数的极值101

3.4.3 最大值、最小值的求法104

思考题107

习题3.4107

3.5 函数的凸性及作图108

3.5.1 函数的凸性及拐点108

3.5.2 函数的渐近线110

3.5.3 函数的作图111

思考题113

习题3.5113

小结114

复习题3115

莱布尼茨小传116

第4章 不定积分118

4.1 不定积分的概念和性质118

4.1.1 原函数与不定积分的概念118

4.1.2 基本积分表120

4.1.3 不定积分的性质120

思考题121

习题4.1122

4.2 换元积分法与分部积分法122

4.2.1 换元积分法122

4.2.2 分部积分法129

思考题131

习题4.2132

4.3 有理函数和可化为有理函数的积分132

4.3.1 有理函数的积分132

4.3.2 三角函数有理式的积分135

4.3.3 简单无理函数的积分137

思考题138

习题4.3138

小结139

复习题4139

欧拉小传140

第5章 定积分及其应用143

5.1 定积分的概念143

5.1.1 定积分产生的实际背景143

5.1.2 定积分的定义145

5.1.3 可积函数类147

5.1.4 定积分的性质148

思考题150

习题5.1150

5.2 积分学基本定理151

5.2.1 变上限的积分151

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式152

思考题153

习题5.2154

5.3 定积分的计算154

5.3.1 定积分的换元法154

5.3.2 定积分的分部积分法156

思考题157

习题5.3158

5.4 广义积分初步159

5.4.1 无穷区间上的广义积分159

5.4.2 无界函数的广义积分161

5.4.3 广义积分的收敛判别法163

思考题164

习题5.4164

5.5 定积分的应用165

5.5.1 微元法165

5.5.2 定积分的几何应用166

5.5.3 定积分的物理应用172

5.5.4 定积分在生命科学研究方面的应用174

思考题175

习题5.5176

5.6 积分法在经济学方面的应用177

5.6.1 利润的最大化问题177

5.6.2 投资和资本的形成179

5.6.3 资金流量的现值180

小结182

复习题5182

数学与美学184

第6章 多元函数微积分学188

6.1 空间解析几何及向量代数的基本知识188

6.1.1 空间直角坐标系188

6.1.2 向量的概念及运算190

6.1.3 空间平面及直线方程194

6.1.4 空间曲面方程196

思考题198

习题6.1198

6.2 二元函数的极限与连续199

6.2.1 平面点集199

6.2.2 二元函数概念200

6.2.3 二元函数的极限201

6.2.4 二元函数的连续203

思考题204

习题6.2204

6.3 偏导数与全微分205

6.3.1 偏导数205

6.3.2 高阶偏导数207

6.3.3 全微分208

6.3.4 全微分的应用209

思考题211

习题6.3211

6.4 复合函数与隐函数的微分法211

6.4.1 复合函数的微分法212

6.4.2 隐函数的微分法则215

思考题216

习题6.4217

6.5 二元函数的极值217

6.5.1 二元函数的极值217

6.5.2 最小二乘法220

思考题223

习题6.5223

6.6 二重积分223

6.6.1 二重积分的概念224

6.6.2 二重积分的性质225

6.6.3 二重积分的计算225

6.6.4 二重积分的应用230

思考题231

习题6.6231

小结232

复习题6233

高斯小传235

第7章 常微分方程237

7.1 常微分方程的基本概念237

思考题239

习题7.1239

7.2 一阶微分方程240

7.2.1 可分离变量的微分方程240

7.2.2 齐次方程243

7.2.3 一阶线性微分方程245

7.2.4 伯努利方程247

思考题251

习题7.2252

7.3 可降阶的高阶微分方程253

7.3.1 dny/dxn=f（x）型微分方程253

7.3.2 y″=f（y,y′）型微分方程254

7.3.3 y″=f（x,y′）型微分方程257

思考题258

习题7.3258

7.4 二阶线性微分方程259

7.4.1 二阶线性微分方程解的结构259

7.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程261

7.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程264

7.4.4 线性微分方程组举例268

思考题269

习题7.4269

7.5 微分方程模型举例270

7.5.1 建立模型的步骤与方法270

7.5.2 单种群生长模型270

7.5.3 流行病学模型275

7.5.4 减肥问题的数学模型278

7.5.5 药物动力学房室模型279

习题7.5282

小结283

复习题7283

数学模型方法284

第8章 无穷级数287

8.1 数项级数的概念和性质287

8.1.1 无穷级数的概念287

8.1.2 无穷级数的性质290

思考题291

习题8.1291

8.2 数项级数的收敛判别法292

8.2.1 正项级数及其收敛判别法292

8.2.2 交错级数及其收敛判别法296

8.2.3 绝对收敛和条件收敛297

思考题299

习题8.2300

8.3 幂级数及函数的幂级数展开300

8.3.1 幂级数及其收敛区间301

8.3.2 幂级数的运算性质305

8.3.3 泰勒级数307

8.3.4 幂级数的应用举例313

思考题315

习题8.3316

小结318

复习题8318

附录1 简明不定积分表320

附录2 复习题答案324

附录3 初等数学常用公式331

符号说明335