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第1章 矢量与张量1

1.1 矢量及其代数运算公式1

1.1.1 矢量1

1.1.2 点积2

1.1.3 叉积3

1.1.4 混合积3

1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量5

1.2.1 平面内的斜角直线坐标系5

1.2.2 三维空间中的斜角直线坐标系7

1.2.2.1 斜角直线坐标系7

1.2.2.2 协变基矢量8

1.2.2.3 逆变基矢量8

1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量9

1.2.2.5 指标升降关系10

1.3.1 曲线坐标系11

1.3 曲线坐标系11

1.3.2 空间点的局部基矢量12

1.3.3 正交曲线坐标系与Lamé常数13

1.4 坐标转换14

1.4.1 基矢量的转换关系14

1.4.2 协变与逆变转换系数15

1.4.3 矢量分量的坐标转换关系16

1.4.4 度量张量分量的坐标转换关系16

1.5 并矢与并矢式17

1.5.1 并矢17

1.5.2 缩并19

1.5.3 并矢的点积与双点积19

1.5.4 并矢的相等20

1.6 张量的基本概念21

1.6.1 矢量的分量表示法与实体表示法21

1.6.2 张量的定义与两种表示法23

1.6.2.1 张量的分量表示法24

1.6.2.2 张量的实体表示法(并矢表示法)25

1.6.3 度量张量26

1.7 张量的代数运算27

1.7.1 张量的相等27

1.7.2 张量的相加27

1.7.3 标量与张量相乘28

1.7.4 张量与张量并乘28

1.7.5 张量的缩并28

1.7.6 张量的点积29

1.7.7 转置张量30

1.7.8 张量的对称化与反对称化31

1.7.9 张量的商法则32

1.8 张量的矢积35

1.8.1 置换符号与行列式的展开式35

1.8.2 置换张量(Eddington张量)与ε～δ等式37

1.8.3.1 两个矢量的矢积40

1.8.3 矢积40

1.8.3.2 三个矢量的混合积41

1.8.3.3 三个矢量的三重积42

1.8.3.4 张量的矢积42

习题43

第2章 二阶张量49

2.1 二阶张量的矩阵49

2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵49

2.1.2 二阶张量的转置，对称、反对称张量及其所对应的矩阵50

2.1.3 二阶张量的行列式51

2.1.4 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算52

2.2 正则与退化的二阶张量53

2.2.1 关于映射的几个定理53

2.2.2 正则与退化54

2.3.2 二阶张量的三个主不变量55

2.3 二阶张量的不变量55

2.3.1 张量的标量不变量55

2.3.3 二阶张量的矩56

2.4 二阶张量的标准形57

2.4.1 实对称二阶张量的标准形57

2.4.1.1 基本概念57

2.4.1.2 对称二阶张量的特征方程58

2.4.1.3 实对称二阶张量的特征根必为实根58

2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性59

2.4.1.5 实对称二阶张量所对应的线性变换59

2.4.1.6 主分量是当坐标转换时N的混合分量对角元素之驻值59

2.4.1.7 对称二阶张量标准形的应用60

2.4.2 非对称二阶张量的标准形61

2.4.2.1 特征方程无重根的情况61

2.4.2.2 特征方程有重根的情况63

2.5.2 度量张量G69

2.5 几种特殊的二阶张量69

2.5.1 零二阶张量O69

2.5.3 二阶张量的幂70

2.5.3.1 二阶张量的正整数次幂70

2.5.3.2 二阶张量的零次幂70

2.5.3.3 二阶张量的负整数次幂70

2.5.4 正张量、非负张量及其方根、对数70

2.5.5 二阶张量的值72

2.5.6 反对称二阶张量72

2.5.6.1 定义72

2.5.6.2 反对称二阶张量的主不变量72

2.5.6.3 反对称二阶张量的标准形72

2.5.6.4 反对称二阶张量的反偶矢量73

2.5.7 正交张量74

2.5.7.1 定义74

2.5.6.5 反对称二阶张量Ω所对应的线性变换74

2.5.7.2 正交变换的“保内积”性质75

2.5.7.3 正交张量的并矢表达式75

2.5.7.4 正交张量的标准形76

2.6 二阶张量的分解77

2.6.1 二阶张量的加法分解77

2.6.1.1 球形张量与偏斜张量78

2.6.1.2 利用偏斜张量求对称二阶张量的主分量与主方向79

2.6.1.3 二阶张量标量不变量的进一步分析82

2.6.2 二阶张量的乘法分解(极分解)84

2.7 正交相似张量86

习题87

第3章 张量函数及其导数91

3.1 张量函数、各向同性张量函数的定义和例91

3.1.1 什么是张量函数91

3.1.2 张量函数举例92

3.1.3 各向同性张量函数93

3.2 矢量的标量函数95

3.3 二阶张量的标量函数98

3.4 二阶张量的二阶张量函数99

3.4.1 二阶张量的解析函数99

3.4.2 Hamilton-Cayley等式101

3.4.3 同时化为对角型标准形的函数102

3.4.4 对称张量的对称张量函数105

3.5 张量函数导数的定义，链规则111

3.5.1 有限微分、导数与微分111

3.5.2 张量函数导数的链规则115

3.5.3 两个张量函数乘积的导数117

3.6 矢量的函数之导数117

3.6.1 矢量的标量函数117

3.6.2 矢量的矢量函数119

3.6.4.1 张量函数的梯度120

3.6.3 矢量的二阶张量函数120

3.6.4 张量函数的梯度、散度和旋度120

3.6.4.2 张量函数的散度121

3.6.4.3 张量函数的旋度121

3.7 二阶张量的函数之导数122

3.7.1 二阶张量的标量函数之导数122

3.7.2 二阶张量的不变量的导数124

3.7.3 二阶张量的张量函数之导数126

习题128

第4章 曲线坐标张量分析132

4.1 基矢量的导数，Christoffel符号133

4.1.1 协变基矢量的导数及第二类Christoffel符号133

4.1.2 第一类Christoffel符号134

4.1.4 ？对坐标的导数，Γ？i的计算公式136

4.1.5 坐标转换时Christoffel符号的转换公式136

4.1.3 逆变基矢量的导数136

4.2 张量场函数对矢径的导数、梯度137

4.2.1 有限微分、导数与微分137

4.2.2 梯度139

4.3 张量分量对坐标的协变导数140

4.3.1 矢量场函数的分量对坐标的协变导数140

4.3.2 张量场函数的分量对坐标的协变导数144

4.3.3 协变导数的一些性质145

4.4 张量场函数的散度与旋度149

4.5 积分定理151

4.5.1 预备知识151

4.5.2 Green变换公式152

4.5.3 Stokes变换公式155

4.6 Riemann-Christofrel张量(曲率张量)158

4.6.1 Euclidean空间与Riemann空间158

4.6.2 Euclidean空间应满足的条件160

4.6.3 证明R？rsq是张量分量162

4.6.4 Riemann-Christoffel张量的性质164

4.6.5 关于张量分量二阶协变导数的Ricci公式，Bianchi恒等式166

4.7 张量方程的曲线坐标分量表示方法169

4.8 非完整系与物理分量170

4.8.1 非完整系170

4.8.2 物理分量173

4.8.2.1 非完整系基矢量的选择173

4.8.2.2 矢量的物理分量173

4.8.2.3 二阶张量的物理分量174

4.9 正交曲线坐标系中的物理分量175

4.9.1 正交标准化基、度量张量与物理分量175

4.9.2 基矢量对坐标的导数176

4.9.3 正交系中张量表达式的物理分量形式179

习题180

5.1.1 曲面的参数方程与Gauss坐标184

5.1 曲面的基本知识184

第5章 曲面上的张量分析184

5.1.2 曲面的基本矢量185

5.1.3 曲面的第一基本张量186

5.1.4 曲面的第二基本张量188

5.1.5 曲面上曲线的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率与Gauss曲率189

5.1.5.1 曲面上曲线的曲率、Frenet公式189

5.1.5.2 曲面的法截面曲率190

5.1.5.3 曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率192

5.1.6 曲率线，主坐标，渐近线194

5.1.7 旋转张量197

5.1.8 非完整系与物理分量199

5.2 曲面上基本矢量的求导公式201

5.2.1 法向矢量对坐标的导数(Weingarten公式)201

5.2.2 基矢量对坐标的导数(Gauss求导公式)，曲面上的Christoffel符号201

5.2.3 第一基本张量分量的导数与协变导数202

5.2.4 单位矢量的求导公式203

5.3 曲面的基本方程,Riemann-Christoffel张量205

5.3.1 Codazzi方程与Gauss方程205

5.3.2 Riemann-Christoffel张量206

5.3.3 可展曲面与不可展曲面208

5.3.4 Gauss方程的其他形式209

5.3.5 以物理分量表达的Codazzi方程与Gauss方程210

5.4 曲面上场函数的导数211

5.4.1 曲面上的标量场函数211

5.4.2 曲面上的矢量场函数212

5.4.2.1 曲面上矢量场函数的微分与梯度212

5.4.2.2 曲面上矢量场函数的梯度之分量表达式213

5.4.2.3 曲面上矢量场函数的散度与旋度215

5.4.3 曲面上的切面张量场函数215

5.5 等距曲面(平行曲面)217

5.5.1 等距曲面的基矢量218

5.5.2 等距曲面的第一基本形219

5.5.3 参考曲面的第三基本形220

5.5.4 等距曲面上面元的面积222

5.5.5 等距曲面的第二基本形222

5.5.6 主坐标系中等距曲面的几何参数223

习题224

第6章 张量场函数对参数的导数227

6.1 质点运动227

6.1.1 质点的运动速度227

6.1.2 任意矢量对参数的导数229

6.1.3 举例230

6.2 Euler坐标与Lagrange坐标232

6.2.1 Euler坐标232

6.2.2 Lagrange坐标233

6.2.4 质点速度和物质导数235

6.2.3 两种坐标系的转换关系235

6.3 基矢量的物质导数237

6.3.1 Lagrange基矢量的物质导数237

6.3.2 度量张量的物质导数、应变率张量238

6.3.3 速度场的加法分解240

6.3.4 Fuler基矢量的物质导数242

6.4 矢量场函数的导数243

6.4.1 Lagrange坐标系中矢量场函数的物质导数243

6.4.2 Euler坐标系中矢量场函数的物质导数、全导数245

6.4.3 坐标转换关系248

6.4.4 矢量场函数的相对导数249

6.4.5 各种导数间的关系253

6.5 张量场函数的导数253

6.5.1 任意阶张量函数的物质导数253

6.5.2 二阶张量场函数及其相对导数258

6.6 连续介质变形与运动的初步知识262

6.6.1 变形梯度张量，线元、面元与体元的变换263

6.6.2 线元、面元与体元的物质导数265

6.6.3 应变梯度张量的极分解267

6.6.4 Green应变张量267

6.6.5 应力张量270

6.6.6 应力率271

6.6.7 弹性本构关系272

6.6.8 举例273

6.6.9 张量场函数在域上积分的导数275

6.6.9.1 张量场函数在物质体积域上的质量积分275

6.6.9.2 张量场函数在物质体积域上的体积积分277

6.6.9.3 张量通过物质开曲面的通量278

6.6.9.4 张量沿物质封闭曲线的环量281

6.6.9.5 张量场函数在非物质域上积分的导数282

习题284

参考书目286