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第一章误差分析1

一、知识点要求1

二、内容提要1

§1．产生误差的主要来源1

§2．绝对误差与绝对误差限（界）1

§3．相对误差与相对误差限（界）1

目录1

§4．有效数字2

§5．函数求值的误差估计2

§7．舍入误差的传播及算法的稳定性3

§6．算法的收敛性与收敛速度3

§8．计算的复杂性4

三、典型例题与方法4

§1．题型一：绝对误差、相对误差及有效数字的估计4

§2．题型二：函数求值的误差估计5

§3．题型三：截断误差的估计及收敛性分析6

§4．题型四：舍入误差的传播及数值稳定性分析7

§5．题型五：算法的设计及比较7

§6．题型六：其他题型如模型性态（病态、良态）、计算复杂性等的讨论9

§1．同步训练10

§2．综合训练10

四、习题10

§3．同步训练解答12

§4．综合训练解答14

第二章函数插值19

一、知识点要求19

二、内容提要19

§1．函数插值的意义及概念19

§2．拉格朗日（Lagrange）插值多项式20

§3．牛顿（Newton）插值多项式20

§4．等距节点插值公式21

§6．分段低次插值23

§5．带导数条件的埃尔米特（Hermie）插值23

三、典型例题与方法27

§1．题型一：求函数在节点处的各阶（次）差商及等距节点的差分27

§2．题型二：求各种类型的插值多项式，被插函数f(x)在某些点处的近似值、估计误差28

§3．题型三：推导插值多项式的余项公式，被插函数和插值多项式或插值基函数满足的关系31

§4．题型四：求分段低次插值函数、估计误差、讨论收敛性；计算等距节点数等35

§5．题型五：讨论插值函数的存在唯一性，推导与插值函数有关的关系式等36

四、习题39

§1．同步训练39

§2．综合训练41

§3．同步训练解答42

§4．综合训练解答47

第三章函数逼近与曲线拟合56

一、知识点要求56

二、内容提要56

§1．预备知识——内积空间与范数56

§2．正交多项式的有关概念57

§3．函数逼近59

§4．离散数据的曲线拟合65

三、典型例题与方法66

§1．题型一：求向量或连续函数的内积和范数66

§2．题型二：正交多项式的推导、递推公式的证明及其在求导、定积分计算中的应用67

§3．题型三：求函数的最佳平方逼近多项式，并估计平方误差69

§4．题型四：求函数的最佳（一致）逼近或近似最佳（一致）逼近，并估计误差72

§5．题型五：曲线拟合75

§6．题型六：其他题型76

四、习题77

§1．同步训练77

§2．综合训练78

§3．同步训练解答79

§4．综合训练解答83

§1．数值求积公式及代数精确度90

二、内容提要90

一、知识点要求90

第四章数值积分与数值微分90

§2．Causs求积公式92

§3．复化（合）求积公式94

§4．数值微分95

§5．里查德逊（Richardson）外推算法和龙贝格（Romberg）求积公式98

三、典型例题与方法100

§1．题型一：确定或验证数值求积公式和数值微分公式的参数，使其代数精确度尽量高或对次数≤m的多项式精确成立，并推出其余项100

§2．题型二：计算定积分和函数导数的近似值，并估计误差或满足指定的误差要求106

§3．题型三：确定复化（合）求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足给定的精度要求108

§4．题型四：推导数值求积公式和数值微分公式或其系数，及余项或截断误差的表达式110

§5．题型五：数值求积公式和数值微分公式的收敛性、收敛速度、计算效率、计算结果的精度分析等112

四、习题114

§1．同步训练114

§2．综合训练115

§3．同步训练解答117

§4．综合训练解答121

第五章常微分方程数值解法129

一、知识点要求129

二、内容提要129

§1．基本概念129

§2．Euler方法130

§3．龙格-库塔方法133

§4．单步法的收敛性与稳定性136

§5．线性多步法137

§6．常微分方程组与高阶常微分方程情形140

§7．常微分方程边值问题的数值解法141

三、典型例题与方法143

§1．题型一：对给定的常微分方程初值问题，选用给定（或合适的）数值方法进行求解143

§2．题型二：给定常微分方程初值问题的某种数值方法，证明其阶次150

§3．题型三：建立常微分方程初值问题的某种数值方法或确定给定方法中的某些参数152

§4．题型四：给定某种常微分方程求解的单步法，分析总体稳定性条件，并确定其绝对稳定性区间155

§1．同步训练156

四、习题156

§2．综合训练157

§3．同步训练解答159

§4．综合训练解答165

第六章方程求根169

一、知识点要求169

二、内容提要169

§1．根的搜索169

§2．迭代法170

§3．Newton法172

§4．割线法173

§5．代数方程求根176

§1．题型一：对给定的非线性方程，选择合适的迭代方法确定该方程的近似根177

三、典型例题与方法177

§2．题型二：给定方程求根的迭代格式，判断迭代是否收敛，如收敛确定其收敛阶次183

§3．题型三：推导某些非线性方程求根的迭代格式，或确定某给定迭代格式的系数，使其具有尽可能高的收敛阶次187

四、习题188

§1．同步训练188

§2．综合训练189

§3．同步训练解答190

§4．综合训练解答197

二、内容提要203

§1．Gauss消去法203

一、知识点要求203

第七章解线性方程组的直接方法203

§2．Causs主元素消去法206

§3．Gauss消去法变形207

§4．向量和矩阵的范数及有关性质210

§5．误差分析211

三、典型例题与方法212

§1．题型一：对给定线性代数方程组，用Gauss消去法（顺序Gauss消去法、全主元Gauss消去法）和直接三角分解法（如LU分解法、选主元的LU分解法等）求解212

§2．题型二：判断、求解范数，求谱半径、条件数218

§3．题型三：应用矩阵条件数对Ax=b求解作误差分析221

§1．同步训练223

四、习题223

§2．综合训练225

§3．同步训练解答227

§4．综合训练解答234

第八章解线性方程组的迭代法239

一、知识点要求239

二、内容提要239

§1．Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法239

§2．迭代法的收敛性241

§1．题型一：用Jacobi、Gauss-Seidel和超松弛迭代法求解线性代数方程组，判断迭代方法的收敛性243

三、典型例题与方法243

§2．题型二：根据迭代法收敛条件构造收敛等价方程组251

四、习题253

§1同步训练253

§2综合训练255

§3同步训练解答256

§4综合训练解答261

第九章矩阵的特征值与特征向量计算264

一、知识点要求264

二、内容提要264

§1代数特征值的基本概念264

§2幂法和反幂法265

§3雅可比（Jacobi）方法267

§4豪斯荷尔德（Householder）方法269

§5 QR方法270

三、典型例题与方法271

§1．题型一：给定特征值问题的数值求解271

§2．题型二：化矩阵（向量）为某一特殊矩阵（向量）280

§3．题型三：其它题型，如特征值或特征向量的表示、算法的收敛速度等281

四、习题282

§1．同步训练282

§2．综合训练284

§3．同步训练解答285

§4．综合训练解答293

第十章应试模拟299

一、本科生期末考试模拟试卷（一）299

二、本科生期末考试模拟试卷（二）300

本科生期末考试模拟试卷（一）参考答案301

本科生期末考试模拟试卷（二）参考答案304

三、硕士研究生入学考试卷（一）306

四、硕士研究生入学考试卷（二）307

硕士研究生入学考试卷（一）参考答案308

硕士研究生入学考试卷（二）参考答案311