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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限与连续1

1.1 函数1

一、考核内容要点1

二、补充公式与结论5

三、典型问题与方法技巧5

1．考查函数各种特性问题5

2．函数复合问题6

1.2 极限7

一、考核内容要点7

二、补充公式与结论11

三、典型问题与方法技巧12

1．考查极限概念及性质问题12

2．求极限问题13

3．关于无穷小阶的问题24

1.3 函数的连续性与间断点26

一、考核内容要点26

二、典型问题与方法技巧27

1．判断函数f（x）在某点x0处连续与间断问题27

2．利用闭区间上连续函数性质证明问题29

强化训练（一）31

第二章 一元函数微分学35

2.1 导数与微分35

一、考核内容要点35

二、补充公式与结论39

三、典型问题与方法技巧39

1．考查导数、微分概念的问题39

2．导数与微分的计算问题43

3．求高阶导数问题46

4．利用导数求平面曲线的切线方程、法线方程问题49

2.2 微分中值定理51

一、考核内容要点51

二、典型问题与方法技巧53

1．利用罗尔定理证明中值问题54

2．利用拉格朗日中值定理证明中值问题57

3．利用柯西中值定理证明中值问题59

4．利用泰勒公式证明中值问题60

5．综合题61

2.3 导数应用63

一、考核内容要点63

二、典型问题与方法技巧66

1．函数的单调性、单调区间及极值问题66

2．函数曲线的凹凸区间、拐点及渐近线问题70

3．方程实根（函数零点，两曲线交点）问题72

4．不等式的证明问题74

强化训练（二）77

第三章 一元函数积分学82

3.1 不定积分82

一、考核内容要点82

二、典型问题与方法技巧87

1．关于原函数与不定积分的基本概念性问题87

2．不定积分的计算问题88

3．综合题89

3.2 定积分91

一、考核内容要点91

二、补充公式与结论94

三、典型问题与方法技巧95

1．关于定积分概念及性质的问题95

2．关于变限积分的问题97

3．利用基本积分公式及积分法计算定积分99

4．几种重要类型被积函数的积分101

5．定积分证明问题103

6．反常积分问题105

3.3 定积分应用106

一、考核内容要点106

二、典型问题与方法技巧108

1．求平面图形面积问题108

2．求旋转体的体积及侧（表）面积问题109

3．求平面曲线弧长问题111

4．物理应用问题112

强化训练（三）113

第四章 向量代数与空间解析几何117

一、考核内容要点117

二、典型问题与方法技巧120

1．向量及其运算问题120

2．求平面与直线方程问题120

3．平面、直线的位置关系问题122

强化训练（四）123

第五章 多元函数微分学126

5.1 多元函数的极限与连续、偏导数与全微分126

一、考核内容要点126

二、典型问题与方法技巧128

1．关于多元函数连续性、可导性及可微性问题128

2．求多元复合函数的偏导数或全微分问题131

3．求方程确定的隐函数的偏导数、全微分问题134

5.2 多元函数的极值与最值136

一、考核内容要点136

二、典型问题与方法技巧137

1．求多元函数无条件极值问题137

2．求多元函数条件极值问题139

3．求多元函数在闭区域上的最值问题140

5.3 多元函数微分学几何应用141

一、考核内容要点141

二、典型问题与方法技巧143

1．求方向导数与梯度问题143

2．求空间曲面切平面与法线方程、空间曲线切线与法平面方程144

强化训练（五）145

第六章 多元函数积分学149

6.1 二重积分149

一、考核内容要点149

二、典型问题与方法技巧153

1．交换积分次序问题153

2．利用基本方法计算二重积分155

3．被积函数为分段函数及隐含分段函数的二重积分问题157

4．综合题158

6.2 三重积分160

一、考核内容要点160

二、典型问题与方法技巧162

1．三重积分计算问题162

2．重积分的应用问题164

6.3 曲线积分165

一、考核内容要点165

二、典型问题与方法技巧169

1．第一类曲线积分计算问题169

2．第二类曲线积分计算问题171

6.4 曲面积分177

一、考核内容要点177

二、典型问题与方法技巧181

1．第一类曲面积分计算问题181

2．第二类曲面积分计算问题183

3．曲线积分与曲面积分的应用问题187

强化训练（六）188

第七章 无穷级数193

7.1 数项级数193

一、考核内容要点193

二、补充公式与结论195

三、典型问题与方法技巧196

1．判定数项级数收敛性问题196

2．数项级数求和问题200

7.2 幂级数201

一、考核内容要点201

二、典型问题与方法技巧206

1．求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域问题206

2．求函数的幂级数展开式问题207

3．求幂级数的和函数与数项级数求和问题209

7.3 傅里叶级数212

一、考核内容要点212

二、典型问题与方法技巧213

1．考查狄利克雷收敛定理问题213

2．求函数的傅里叶级数展开式问题214

强化训练（七）215

第八章 常微分方程220

一、考核内容要点220

二、典型问题与方法技巧223

1．求解一阶微分方程问题223

2．可降阶的高阶微分方程问题230

3．求解高阶常系数线性微分方程问题232

强化训练（八）236

第二篇 线性代数239

第一章 行列式239

一、考核内容要点239

二、补充公式与结论244

三、典型问题与方法技巧245

1．关于余子式、代数余子式问题245

2．数值型行列式的计算问题247

3．抽象型行列式的计算问题251

4．克拉默法则应用问题254

强化训练（一）256

第二章 矩阵259

一、考核内容要点259

二、补充公式与结论265

三、典型问题与方法技巧267

1．有关矩阵基本运算的问题267

2．求数值型矩阵的逆矩阵问题269

3．求抽象型矩阵的逆矩阵问题271

4．讨论（证明）矩阵可逆性问题272

5．解矩阵方程问题273

6．有关初等变换和初等矩阵问题275

7．有关矩阵秩的问题277

强化训练（二）281

第三章 向量285

一、考核内容要点285

二、补充公式与结论289

三、典型问题与方法技巧290

1．判别数值型向量组的线性相关性问题290

2．判别抽象型向量组的线性相关性问题292

3．考查数值型向量（组）的线性表示及等价性问题295

4．考查抽象型向量（组）的线性表示问题299

5．向量组的极大无关组与秩的问题301

6．考查向量空间的基、过渡矩阵以及坐标等问题303

强化训练（三）304

第四章 线性方程组308

一、考核内容要点308

二、补充公式与结论314

三、典型问题与方法技巧314

1．考查线性方程组解的判定、性质与结构问题314

2．有关基础解系的论证问题318

3．数值型线性方程组求解问题320

4．抽象型线性方程组求解问题324

5．求两个线性方程组的公共解的问题327

6．讨论两个线性方程组解的关系问题330

强化训练（四）333

第五章 矩阵的特征值和特征向量338

一、考核内容要点338

二、补充公式与结论343

三、典型问题与方法技巧343

1．求数值型矩阵的特征值、特征向量问题343

2．求抽象型矩阵的特征值、特征向量问题346

3．特征值、特征向量的逆问题348

4．矩阵相似对角化问题350

5．矩阵相似的判定问题353

6．实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化问题356

7．特征值和特征向量的应用问题358

强化训练（五）362

第六章 二次型368

一、考核内容要点368

二、补充公式与结论371

三、典型问题与方法技巧371

1．考查二次型的秩及正、负惯性指数等基本概念性问题371

2．化二次型为标准形问题373

3．考查二次型或对称矩阵的正定性问题379

强化训练（六）381

第三篇 概率论与数理统计384

第一章 随机事件与概率384

一、考核内容要点384

二、补充公式与结论388

三、典型问题与方法技巧388

1．考查随机事件的关系与运算及其逆问题388

2．利用四种概型求概率问题390

3．利用概率的公式、性质求概率问题394

强化训练（一）396

第二章 随机变量及其分布400

一、考核内容要点400

二、补充公式与结论404

三、典型问题与方法技巧405

1．考查随机变量概率分布（分布函数、概率密度、分布律）的概念性问题及确定其中未知参数的问题405

2．求随机变量的概率分布问题407

3．利用已知概率分布求概率问题410

4．求随机变量函数的分布问题413

强化训练（二）419

第三章 多维随机变量及其分布424

一、考核内容要点424

二、补充公式与结论431

三、典型问题与方法技巧432

1．求二维随机变量的概率分布（联合分布、边缘分布、条件分布）及其中未知参数问题432

2．利用二维概率分布求概率问题440

3．求二维随机变量函数的分布问题445

强化训练（三）451

第四章 随机变量的数字特征457

一、考核内容要点457

二、补充公式与结论459

三、典型问题与方法技巧459

1．求随机变量的数学期望与方差问题459

2．求随机变量函数的数学期望与方差问题462

3．求协方差、相关系数及讨论随机变量相关性问题468

4．数字特征应用题472

强化训练（四）474

第五章 大数定律与中心极限定理478

一、考核内容要点478

二、典型问题与方法技巧480

1．利用切比雪夫不等式估算概率问题480

2．考查大数定律的问题481

3．考查中心极限定理的问题483

强化训练（五）485

第六章 数理统计487

一、考核内容要点487

二、典型问题与方法技巧494

1．求统计量的分布问题494

2．求统计量的数字特征问题496

3．求参数的点估计问题499

4．讨论估计量评价标准问题504

5．求参数的区间估计问题507

6．参数假设检验问题508

强化训练（六）509