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第1章 测度论基础下的概率论简介1

1.1 可测空间与概率空间1

1.1.1 可测空间与可测集2

1.1.2 测度与概率4

1.2 可测函数与随机变量5

1.2.1 可测函数的定义和性质5

1.2.2 随机变量序列的收敛性8

1.2.3 强大数定律10

1.3 可测函数的积分与数学期望10

1.3.1 可测函数积分的定义11

1.3.2 可测函数积分的性质12

1.3.3 积分收敛定理13

1.3.4 随机变量的期望与特征函数14

1.3.5 随机变量的特征函数16

1.4 乘积空间上的测度论17

1.4.1 乘积可测空间17

1.4.2 乘积测度和富比尼定理17

1.5 条件数学期望19

1.5.1 初等概率论中的条件期望19

1.5.2 关于σ代数条件下的条件期望21

1.5.3 条件期望的重要例子21

1.5.4 条件期望的性质22

习题1 24

第2章 随机过程的基本概念26

2.1 随机过程的概念26

2.1.1 随机过程的定义26

2.1.2 随机过程的有限维分布函数族28

2.1.3 随机过程的数字特征28

2.1.4 随机过程的应用背景简介29

2.2 几类常见的随机过程30

2.2.1 独立增量过程30

2.2.2 正态过程31

2.2.3 平稳过程32

2.2.4 计数过程34

习题2 35

第3章 泊松过程37

3.1 泊松过程的定义37

3.1.1 泊松过程的第一种定义37

3.1.2 泊松过程的第二种定义及其等价性39

3.1.3 强度函数和随机分流定理40

3.2 泊松过程的性质42

3.2.1 Tk和τk的分布42

3.2.2 到达时刻τn的条件分布46

3.2.3 剩余寿命和年龄的分布49

3.3 泊松过程的推广51

3.3.1 广义泊松过程51

3.3.2 非齐次泊松过程52

3.3.3 条件泊松过程54

3.3.4 复合泊松过程56

3.4 更新过程57

3.4.1 更新过程的定义57

3.4.2 更新过程的性质60

3.4.3 更新过程的推广形式63

习题3 64

第4章 马尔可夫过程66

4.1 马尔可夫链的定义及转移概率66

4.1.1 马尔可夫链的定义66

4.1.2 马尔可夫链的转移概率68

4.1.3 马尔可夫链的例子69

4.2 马尔可夫链的状态分类与判别71

4.2.1 为什么要进行状态的分类71

4.2.2 刻画状态类型的特征量72

4.2.3 状态类型的定义75

4.2.4 状态类型的判定及其性质76

4.3 状态之间的关系和状态空间的分解78

4.3.1 状态的可达与互通78

4.3.2 状态空间的分解80

4.3.3 状态空间分解的应用举例82

4.4 马尔可夫链的遍历性理论与平稳分布84

4.4.1 遍历性定理85

4.4.2 马尔可夫链的平稳分布87

4.4.3 马尔可夫链的极限分布89

4.5 连续时间参数的马尔可夫链91

4.5.1 连续时间参数的马尔可夫链的概念92

4.5.2 转移速率矩阵——Q矩阵96

4.5.3 柯尔莫哥洛夫微分方程97

4.5.4 强马尔可夫性99

4.6 特殊的马尔可夫链101

4.6.1 随机游动102

4.6.2 分枝过程102

4.6.3 生灭过程103

4.6.4 可逆马尔可夫链104

4.6.5 半马尔可夫过程106

习题4 107

第5章 鞅110

5.1 鞅的概念与性质110

5.1.1 定义与简单性质110

5.1.2 重要的例112

5.1.3 下鞅分解定理114

5.2 停时定理115

5.2.1 τ前σ-代数115

5.2.2 停时定理116

5.3 鞅的不等式与收敛定理118

5.3.1 上穿不等式118

5.3.2 下鞅的收敛定理119

5.3.3 鞅的不等式120

5.4 连续参数鞅120

5.4.1 从离散鞅到连续鞅120

5.4.2 连续鞅的上鞅分解定理121

5.4.3 连续鞅的上穿不等式与收敛定理 121

5.4.4 连续鞅的停时定理122

习题5 123

第6章 布朗运动124

6.1 布朗运动的定义与性质124

6.1.1 布朗运动的定义124

6.1.2 布朗运动的分布126

6.1.3 布朗运动的轨道性质127

6.1.4 布朗运动的鞅性质129

6.2 布朗运动的首中时与最大值130

6.2.1 首中时的分布130

6.2.2 最大值的分布132

6.2.3 零点与反正弦律134

习题6 135

第7章 随机分析简介137

7.1 均方分析137

7.1.1 均方极限137

7.1.2 均方连续138

7.1.3 均方导数139

7.1.4 均方积分141

7.2 Ito积分的定义及性质144

7.2.1 简单过程的Ito积分145

7.2.2 一般L2过程的Ito积分148

7.2.3 多维Ito积分151

7.3 Ito过程与Ito公式152

7.3.1 一维Ito过程与Ito公式152

7.3.2 布朗运动的识别154

7.3.3 多维Ito公式155

7.4 随机微分方程156

7.4.1 解的存在性与唯一性156

7.4.2 随机微分方程的解法158

7.4.3 Ito扩散及其基本性质160

7.5 案例分析——欧式期权定价164

习题7 166

第8章 贝叶斯统计推断简介169

8.1 贝叶斯统计模型169

8.2 选取先验分布方法172

8.2.1 无信息先验分布172

8.2.2 共轭分布法173

8.2.3 杰费莱原则174

8.3 贝叶斯参数估计176

8.3.1 最大后验估计177

8.3.2 条件期望估计178

8.3.3 贝叶斯区间估计178

8.4 贝叶斯假设检验179

8.5 贝叶斯统计决策181

8.5.1 一般统计决策模型181

8.5.2 贝叶斯统计决策184

8.6 案例分析——过滤垃圾邮件186

习题8189

附录 常用统计分布族191

参考文献192