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引言1

第一章 控制不等式5

1.1 增函数与凸函数5

1.2 凸函数的推广11

1.2.1 对数凸函数11

1.2.2 弱对数凸函数11

1.2.3 几何凸函数12

1.2.4 调和凸函数15

1.2.5 MN凸函数15

1.2.6 Wright-凸函数19

1.3 控制不等式的定义及基本性质20

1.4 一些常用控制不等式31

1.5 凸函数与控制不等式44

1.6 Karamata不等式的推广51

第二章 Schur凸函数的定义和性质55

2.1 Schur凸函数的定义和性质55

2.2 凸函数与Schur凸函数67

2.3 Karamata不等式的若干应用75

2.3.1 整幂函数不等式的控制证明76

2.3.2 一个有理分式不等式的加细80

2.3.3 一类含有幂平均，算术平均和几何平均的不等式87

2.3.4 钟开来不等式的加强93

2.3.5 凸函数的两个性质的控制证明94

2.4 Schur凸函数的推广97

2.4.1 Schur几何凸函数97

2.4.2 Schur调和凸函数104

2.4.3 Schur幂凸函数107

2.4.4 一类条件不等式的控制证明114

2.5 凸函数和Schur凸函数的对称化120

2.6 抽象受控不等式135

2.6.1 抽象受控不等式135

2.6.2 抽象受控不等式的同构映射147

第三章 Schur凸函数与初等对称函数不等式149

3.1 初等对称函数及其对偶式的Schur凸性149

3.2 初等对称函数商或差的Schur凸性162

3.2.1 初等对称函数商的Schur凸性162

3.2.2 初等对称函数差的Schur凸性172

3.2.3 初等对称函数差或商的复合函数的Schur凸性182

3.3 初等对称函数的某些复合函数的Schur凸性185

3.3.1 复合函数Ek（x/1－x）的Schur凸性185

3.3.2 复合函数Ek（1－x/x）的Schur凸性187

3.3.3 复合函数Ek（1＋x/1－x）的Schur凸性190

3.3.4 复合函数Ek（1/x－x）的Schur凸性192

3.3.5 复合函数Ek（1/x－μ）的Schur调和凸性193

3.3.6 复合函数Ek（f（x））的Schur凸性194

3.4 几个著名不等式的证明与推广199

3.4.1 Weierstrass不等式200

3.4.2 Adamovic不等式204

3.4.3 Chrystal不等式208

3.4.4 Bernoulli不等式211

3.4.5 Rado-Popoviciu不等式218

3.4.6 幂平均不等式222

3.4.7 算术-几何-调和平均值不等式232

第四章 Schur凸函数与其他对称函数不等式235

4.1 完全对称函数的Schur凸性235

4.1.1 完全对称函数的Schur凸性235

4.1.2 完全对称函数的推广245

4.1.3 一个完全对称函数复合函数的Schur凸性251

4.2 Hamy对称函数的Schur凸性255

4.2.1 Hamy对称函数及其推广255

4.2.2 Hamy对称函数的对偶式261

4.2.3 Hamy对称函数对偶式的复合函数264

4.3 Muirhead对称函数的Schur凸性及其应用277

4.3.1 Muirhead对称函数的Schur凸性277

4.3.2 涉及Muirhead对称函数的不等式283

4.3.3 Jensen-Pe？ari？-Svrtan-Fan型不等式286

4.3.4 含剩余对称平均的不等式292

4.4 Kantorovich不等式的推广297

4.5 一对互补对称函数的Schur凸性304

第五章 Schur凸函数与序列不等式317

5.1 凸数列的定义及性质317

5.2 各种凸数列330

5.3 关于凸序列一个不等式337

5.4 凸数列的几个加权和性质的控制证明345

5.5 离散Steffensen不等式的加细354

5.6 凸函数单调平均不等式的改进357

5.7 一类跳阶乘不等式373

5.8 等差数列和等比数列的凸性和对数凸性379

5.8.1 等差数列的凸性和对数凸性379

5.8.2 等比数列的凸性和对数凸性383

第六章 Schur凸函数与积分不等式387

6.1 涉及Hadamard积分不等式的Schur凸函数387

6.2 涉及Hadamard型积分不等式的Schur凸函数403

6.2.1 涉及Dragomir积分不等式的Schur凸函数403

6.2.2 涉及Lan He积分不等式的Schur凸函数419

6.2.3 涉及广义积分拟算术平均的Schur凸函数426

6.3 涉及Schwarz积分不等式的Schur凸函数432

6.4 涉及Chebyshev积分不等式的Schur凸函数436

6.5 受控型积分不等式443

6.6 Schur凸函数与其他积分不等式448

6.7 Schur凸函数与伽马函数453

第七章 Schur凸函数与二元平均值不等式461

7.1 Stolarsky平均的Schur凸性461

7.2 Gini平均的Schur凸性473

7.3 Gini平均与Stolarsky平均的比较496

7.4 广义Heron平均的Schur凸性512

7.4.1 广义Heron平均512

7.4.2 广义Heron平均的推广525

7.5 其他二元平均的Schur凸性535

7.5.1 广义Muirhead平均535

7.5.2 Seiffert型平均538

7.5.3 指数型平均543

7.5.4 三角平均546

7.5.5 Lehme平均549

7.5.6“奇特”平均555

7.5.7 Toader型积分平均561

7.5.8 椭圆纽曼平均564

7.6 某些均值差的Schur凸性565

7.6.1 某些均值差的凸性和Schur凸性565

7.6.2 某些均值差的Schur几何凸性568

7.6.3 某些均值差的Schur几何凸性和调和凸性577

7.6.4 某些均值商的Schur凸性592

7.7 双参数齐次函数593

第八章 Schur凸函数与多元平均值不等式609

8.1 第三类k次对称平均的Schur凸性609

8.1.1 第三类k次对称平均609

8.1.2 第三类k次对称平均的函数推广612

8.1.3 第三类k次对称平均的变形620

8.2 n元加权广义对数平均的Schur凸性628

8.3 关于幂平均不等式的最优值640

8.4n元平均商的p阶Schur-幂凸性655

8.5 Bonferroni平均的Schur凸性659

第九章 Schur凸函数与几何不等式663

9.1 Schur凸函数与三角形不等式663

9.1.1 三角形中的控制关系663

9.1.2 某些三角形内角不等式的控制证明668

9.1.3 其他三角形不等式的控制证明675

9.1.4 多边形不等式的控制证明676

9.2 Schur凸函数与单形不等式683

9.2.1 单形中的记号与等式683

9.2.2 单形的伍德几何不等式685

9.2.3 单形的Berker不等式686

9.2.4 单形的Milosevi？不等式687

9.2.5 对称函数与单形不等式688

参考文献694

人名索引745

主题索引752

编辑手记758