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第1章 复数与复变函数1

1.1复数及其运算1

1.知识要点1

2.解题示例1

类型1复数表达式的转换1

类型2复数的计算2

类型3利用复数解实数问题4

1.2复变函数6

1.知识要点6

2.解题示例6

类型1确定复数表达式所描述的区域6

类型2映射区域的确定7

1.3解析函数的基本性质8

1.知识要点8

2.解题示例8

类型1证明解析函数的某种性质8

类型2由解析函数的实部（或虚部）求解析函数12

类型3判断函数的解析性17

第2章 复变函数的积分与级数展开19

2.1复变函数的积分19

1.知识要点19

2.解题示例20

类型1非闭合路径上的复积分20

类型2回路积分21

类型3利用回路积分计算无穷积分24

2.2复变函数级数的一般性质27

1.知识要点27

2.解题示例27

类型1求幂级数的收敛半径27

类型2将给定函数展开为幂级数28

2.3复变函数的泰勒级数30

1.知识要点30

2.解题示例30

类型1利用导数求展开系数30

类型2利用几何级数公式做泰勒展开31

类型3利用已知函数的展开式求展开系数31

2.4罗朗级数32

1.知识要点32

2.解题示例33

类型1利用几何级数公式求罗朗展开式33

类型2利用已知函数的级数求罗朗展开式33

第3章 复变函数的奇点与多值性35

3.1复变函数的奇点35

1.知识要点35

2.解题示例36

类型1判断有限远奇点的类型36

类型2对无穷远点奇异性的判断36

3.2多值函数37

1.知识要点37

2.解题示例37

类型1确定多值函数的枝点37

类型2确定多值函数的值39

第4章 留数及其在积分中的应用41

4.1留数41

1.知识要点41

2.解题示例41

类型1用求导法计算留数41

类型2用比较系数法计算留数42

类型3利用留数定理计算回路积分43

4.2留数在三角函数积分中的应用45

1.知识要点45

2.解题示例45

类型1被积函数为三角函数的幂次函数45

类型2被积函数为三角函数的分式函数46

4.3留数在实函数无限积分中的应用47

1.知识要点47

2.解题示例49

类型1实轴上无奇点时的积分49

类型2实轴上有一阶极点时的积分51

类型3被积函数包含三角函数时的积分52

类型4被积函数在无穷远处不为0时的积分53

4.4多值函数沿割线的积分54

1.知识要点54

2.解题示例54

类型1 za型的多值函数54

类型2？z2-a2型的多值函数58

第5章 保角映射61

1.知识要点61

2.解题示例62

类型1根据映射式求映像62

类型2根据映像或对应点求映射式67

第6章 数学物理问题的建立80

6.1机械波问题80

1.知识要点80

2.解题示例81

类型1振动方程的导出81

类型2定解条件的确定85

6.2热传导问题87

1.知识要点87

2.解题示例89

类型1写热传导方程89

类型2确定定解条件90

第7章 本征值问题与分离变量法93

7.1 S-L型方程的本征值问题93

1.知识要点93

2.解题示例94

类型1求常系数方程的本征函数94

类型2求函数的本征函数展开式97

7.2一维驻波问题98

1.知识要点98

2.解题示例99

类型1两端固定的弦振动99

类型2一端自由的振动问题103

类型3对称性条件的利用106

7.3一维热传导问题107

1.知识要点107

2.解题示例107

类型1两端皆为第一类齐次边界条件107

类型2两端分别为第一类和第二类齐次边界条件109

类型3第三类齐次边界条件下的热传导问题110

7.4矩形区域问题112

1.知识要点112

2.解题示例113

类型1矩形板的热传导问题113

类型2矩形膜的振动问题115

类型3矩形区域中的静电场分布117

7.5平面极坐标系中拉普拉斯方程的分离变量118

1.知识要点118

2.解题示例120

类型1圆域问题120

类型2扇形域问题122

7.6非齐次方程与非齐次边界条件的处理126

1.知识要点126

2.解题示例127

类型1方程非齐次项不含时间的初值问题127

类型2方程非齐次项含时间的初值问题130

类型3用比较系数法求解非齐次方程的边值问题132

类型4利用非齐次方程求解二维齐次方程133

第8章 线性常微分方程的级数解法136

1.知识要点136

2.解题示例137

类型1求常点附近的级数解137

类型2判断奇点的正则性141

类型3求正则奇点附近的正则解143

第9章 勒让德多项式与球函数147

9.1勒让德多项式147

1.知识要点147

2.解题示例149

类型1递推关系的应用149

类型2把函数按Pl （x）展开150

9.2连带勒让德多项式154

1.知识要点154

2.解题示例155

类型1利用递推关系计算积分155

类型2由递推公式导出递推公式156

9.3球函数157

1.知识要点157

2.解题示例158

类型1用比较系数法将函数按球函数展开158

类型2非轴对称边值问题的解158

第10章 贝塞尔函数161

10.1柱函数概述161

1.知识要点161

2.解题示例162

类型1利用贝塞尔函数的级数表示进行分析162

类型2递推公式的应用164

类型3利用生成函数进行分析165

10.2贝塞尔函数的本征值问题167

1.知识要点167

2.解题示例168

类型1轴对称问题168

类型2非轴对称问题170

10.3虚宗量贝塞尔函数173

1.知识要点173

2.解题示例174

类型1推导函数之间的关系174

类型2利用递推公式求积分176

10.4球贝塞尔函数176

1.知识要点176

2.解题示例177

类型1推导递推关系177

类型2本征值问题178

第11章 傅里叶变换和拉普拉斯变换181

11.1傅里叶变换181

1.知识要点181

2.解题示例182

类型1有限或半无限区间上的傅里叶变换182

类型2在无界区间上的傅里叶变换183

类型3在定解问题中的应用184

11.2拉普拉斯变换187

1.知识要点187

2.解题示例188

类型1求函数的拉普拉斯变换188

类型2求拉普拉斯反演191

类型3利用拉普拉斯变换求卷积194

类型4在定解问题中的应用195

第12章 δ函数 解非齐次方程的格林函数法202

12.1 δ函数202

1.知识要点202

2.解题示例204

类型1 δ函数的函数序列极限表达式204

类型2含δ函数的积分205

类型3在求导中的应用206

类型4本征函数组完备性条件的导出206

12.2稳定场的格林函数208

1.知识要点208

2.解题示例209

类型1求无界空间中的格林函数（基本解）209

类型2求边值问题的格林函数214

类型3用格林函数写出边值问题的形式解218

12.3时变场的格林函数219

1.知识要点220

2.解题示例221

类型1求含时格林函数221

类型2用格林函数法求定解问题的解227