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第1章 实数系与复数系1

1.1 引言1

1.2 域公理1

1.3 序公理2

1.4 实数的几何表示2

1.5 区间3

1.6 整数3

1.7 整数的唯一因数分解定理3

1.8 有理数5

1.9 无理数5

1.10 上界，最大元，最小上界（上确界）6

1.11 完全公理7

1.12 上确界的某些性质7

1.13 从完全公理推演出的整数性质8

1.14 实数系的阿基米德性质8

1.15 能用有限小数表示的有理数8

1.16 用有限小数逼近实数9

1.17 用无限小数表示实数9

1.18 绝对值与三角不等式10

1.19 柯西－施瓦茨不等式11

1.20 正负无穷和扩充的实数系R11

1.21 复数12

1.22 复数的几何表示13

1.23 虚数单位14

1.24 复数的绝对值14

1.25 复数排序的不可能性15

1.26 复指数15

1.27 复指数的进一步性质16

1.28 复数的辐角16

1.29 复数的整数幂和方根17

1.30 复对数18

1.31 复幂18

1.33 无穷远点与扩充的复平面C19

1.32 复正弦和复余弦19

练习20

进一步参考文献24

第2章 集合论的一些基本概念25

2.1 引言25

2.2 记号25

2.3 序偶25

2.4 两个集合的笛卡儿积26

2.5 关系与函数26

2.6 关于函数的进一步的术语27

2.7 1-1函数及其反函数28

2.10 相似（对等）集合29

2.8 复合函数29

2.9 序列29

2.11 有限集与无限集30

2.12 可数集与不可数集30

2.13 实数系的不可数性31

2.14 集合代数31

2.15 可数集的可数族33

练习34

进一步参考文献36

3.1 引言37

3.2 欧氏空间Rn37

第3章 点集拓扑初步37

3.3 Rn中的开球与开集38

3.4 Rl中开集的结构39

3.5 闭集40

3.6 附贴点，聚点41

3.7 闭集与附贴点41

3.8 波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理42

3.9 康托尔交定理43

3.10 林德勒夫覆盖定理44

3.11 海涅－博雷尔覆盖定理45

3.12 Rn中的紧性45

3.13 度量空间47

3.14 度量空间中的点集拓扑48

3.15 度量空间的紧子集49

3.16 集合的边界50

练习50

进一步参考文献54

第4章 极限与连续性55

4.1 引言55

4.2 度量空间中的收敛序列55

4.3 柯西序列57

4.5 函数的极限58

4.4 完备度量空间58

4.6 复值函数的极限60

4.7 向量值函数的极限60

4.8 连续函数61

4.9 复合函数的连续性62

4.10 连续复值函数和连续向量值函数63

4.11 连续函数的例子63

4.12 连续性与开集或闭集的逆象64

4.13 紧集上的连续函数65

4.14 拓扑映射（同胚）66

4.15 波尔查诺定理66

4.16 连通性67

4.18 弧连通性69

4.17 度量空间的分支69

4.19 一致连续性71

4.20 一致连续性与紧集72

4.21 压缩的不动点定理72

4.22 实值函数的间断点73

4.23 单调函数75

练习76

进一步参考文献82

5.2 导数的定义83

5.3 导数与连续性83

5.1 引言83

第5章 导数83

5.4 导数代数84

5.5 链式法则85

5.6 单侧导数和无穷导数85

5.7 具有非零导数的函数86

5.8 零导数与局部极值86

5.9 罗尔定理87

5.10 微分中值定理87

5.11 导函数的介值定理88

5.12 带余项的泰勒公式89

5.13 向量值函数的导数90

5.14 偏导数91

5.15 复变函数的微分92

5.16 柯西－黎曼方程93

练习96

进一步参考文献100

第6章 有界变差函数与可求长曲线101

6.1 引言101

6.2 单调函数的性质101

6.3 有界变差函数101

6.4 全变差103

6.5 全变差的可加性104

6.6 在［a,x］上作为x的函数的全变差104

6.7 有界变差函数表示为递增函数之差105

6.8 有界变差连续函数105

6.9 曲线与路106

6.10 可求长的路与弧长106

6.11 弧长的可加性及连续性性质108

6.12 路的等价性，参数变换108

练习109

进一步参考文献111

7.2 记号112

7.1 引言112

第7章 黎曼－斯蒂尔切斯积分112

7.3 黎曼－斯蒂尔切斯积分的定义113

7.4 线性性质113

7.5 分部积分法115

7.6 黎曼－斯蒂尔切斯积分中的变量替换116

7.7 化为黎曼积分117

7.8 阶梯函数作为积分函数118

7.9 黎曼－斯蒂尔切斯积分化为有限和119

7.11 单调递增的积分函数，上积分与下积分120

7.10 欧拉求和公式120

7.12 上积分及下积分的可加性与线性性质123

7.13 黎曼条件123

7.14 比较定理124

7.15 有界变差的积分函数125

7.16 黎曼－斯蒂尔切斯积分存在的充分条件128

7.17 黎曼－斯蒂尔切斯积分存在的必要条件128

7.18 黎曼－斯蒂尔切斯积分的中值定理129

7.19 积分作为区间的函数130

7.20 积分学第二基本定理131

7.21 黎曼积分的变量替换131

7.23 依赖于一个参数的黎曼－斯蒂尔切斯积分133

7.22 黎曼积分第二中值定理133

7.24 积分号下的微分法134

7.25 交换积分次序134

7.26 黎曼积分存在性的勒贝格准则136

7.27 复值黎曼－斯蒂尔切斯积分139

练习140

进一步参考文献146

第8章 无穷级数与无穷乘积147

8.1 引言147

8.2 收敛的复数序列与发散的复数序列147

8.3 实值序列的上极限与下极限147

8.4 单调的实数序列148

8.5 无穷级数149

8.6 插入括号和去掉括号150

8.7 交错级数151

8.8 绝对收敛与条件收敛151

8.9 复级数的实部与虚部152

8.10 正项级数收敛性的检验法152

8.11 几何级数153

8.12 积分检验法153

8.13 大O记号和小o记号154

8.14 比值检验法和根检验法155

8.15 狄利克雷检验法和阿贝尔检验法156

8.16 几何级数∑zn在单位圆｜z｜=1上的部分和157

8.17 级数的重排158

8.18 关于条件收敛级数的黎曼定理158

8.19 子级数159

8.20 二重序列160

8.21 二重级数161

8.22 二重级数的重排定理162

8.23 累次级数相等的一个充分条件163

8.24 级数的乘法164

8.25 切萨罗可求和性166

8.26 无穷乘积167

8.27 对于黎曼ζ函数的欧拉乘积169

练习170

进一步参考文献175

第9章 函数序列176

9.1 函数序列的点态收敛性176

9.2 实值函数序列的例子177

9.3 一致收敛的定义178

9.4 一致收敛与连续性179

9.5 一致收敛的柯西条件179

9.6 无穷函数级数的一致收敛180

9.7 一条填满空间的曲线181

9.8 一致收敛与黎曼－斯蒂尔切斯积分182

9.9 可以被逐项积分的非一致收敛序列183

9.10 一致收敛与微分185

9.11 级数一致收敛的充分条件186

9.12 一致收敛与二重序列187

9.13 平均收敛187

9.14 幂级数189

9.15 幂级数的乘法192

9.16 代入定理193

9.17 幂级数的倒数194

9.18 实的幂级数194

9.19 由函数生成的泰勒级数195

9.20 伯恩斯坦定理196

9.21 二项式级数197

9.22 阿贝尔极限定理198

9.23 陶伯定理200

练习200

进一步参考文献204

第10章 勒贝格积分205

10.1 引言205

10.2 阶梯函数的积分205

10.3 单调的阶梯函数序列206

10.4 上函数及其积分208

10.5 黎曼可积函数作为上函数的例子211

10.6 一般区间上的勒贝格可积函数类212

10.7 勒贝格积分的基本性质213

10.8 勒贝格积分和零测度集215

10.9 莱维单调收敛定理216

10.10 勒贝格控制收敛定理221

10.11 勒贝格控制收敛定理的应用222

10.12 无界区间上的勒贝格积分作为有界区间上的积分的极限224

10.13 反常黎曼积分225

10.14 可测函数228

10.15 由勒贝格积分定义的函数的连续性230

10.16 积分号下的微分法232

10.17 交换积分次序235

10.18 实线上的可测集237

10.19 在R的任意子集上的勒贝格积分239

10.20 复值函数的勒贝格积分239

10.21 内积与范数240

10.22 平方可积函数集合L2(I)241

10.23 集合L2(I)作为一个半度量空间242

10.24 关于L2(I)内的函数级数的一个收敛定理242

10.25 里斯－费希尔定理243

练习244

进一步参考文献250

第11章 傅里叶级数与傅里叶积分251

11.1 引言251

11.2 正交函数系251

11.3 最佳逼近定理252

11.4 函数相对于一个规范正交系的傅里叶级数253

11.5 傅里叶系数的性质253

11.6 里斯－费希尔定理254

11.7 三角级数的收敛性与表示问题255

11.8 黎曼－勒贝格引理256

11.9 狄利克雷积分257

11.10 傅里叶级数部分和的积分表示259

11.11 黎曼局部化定理260

11.12 傅里叶级数在一个特定的点上收敛的充分条件261

11.13 傅里叶级数的切萨罗可求和性261

11.14 费耶定理的推论263

11.15 魏尔斯特拉斯逼近定理263

11.16 其他形式的傅里叶级数264

11.17 傅里叶积分定理265

11.18 指数形式的傅里叶积分定理266

11.19 积分变换267

11.20 卷积268

11.21 对于傅里叶变换的卷积定理269

11.22 泊松求和公式271

练习274

进一步参考文献280

第12章 多元微分学281

12.1 引言281

12.2 方向导数281

12.3 方向导数与连续性282

12.4 全导数282

12.5 全导数通过偏导数来表示284

12.6 对复值函数的一个应用284

12.7 线性函数的矩阵285

12.8 雅可比矩阵286

12.9 链式法则288

12.10 链式法则的矩阵形式288

12.11 用于可微函数的中值定理290

12.12 可微的一个充分条件291

12.13 混合偏导数相等的一个充分条件292

12.14 用于从Rn到Rl的函数的泰勒公式294

练习296

进一步参考文献299

第13章 隐函数与极值问题300

13.1 引言300

13.2 雅可比行列式不取零值的函数301

13.3 反函数定理303

13.4 隐函数定理305

13.5 一元实值函数的极值307

13.6 多元实值函数的极值307

13.7 带边条件的极值问题310

练习314

进一步参考文献316

14.2 Rn内有界区间的测度317

14.3 在Rn内的紧区间上定义的有界函数的黎曼积分317

14.1 引言317

第14章 多重黎曼积分317

14.4 零测度集与多重黎曼积分存在性的勒贝格准则319

14.5 多重积分通过累次积分求值319

14.6 Rn内的若尔当可测集323

14.7 若尔当可测集上的多重积分324

14.8 若尔当容度表示为黎曼积分325

14.9 黎曼积分的可加性325

14.10 多重积分的中值定理326

练习328

进一步参考文献329

15.1 引言330

15.2 阶梯函数及其积分330

第15章 多重勒贝格积分330

15.3 上函数与勒贝格可积函数331

15.4 Rn内的可测函数与可测集332

15.5 关于阶梯函数的二重积分的富比尼归约定理333

15.6 零测度集的某些性质334

15.7 对于二重积分的富比尼归约定理336

15.8 可积性的托内利－霍布森检验法338

15.9 坐标变换339

15.10 多重积分的变换公式342

15.11 对于线性坐标变换的变换公式的证明342

15.12 对于紧立方体特征函数的变换公式的证明344

15.13 变换公式证明的完成348

练习349

进一步参考文献351

第16章 柯西定理与留数计算352

16.1 解析函数352

16.2 复平面内的路与曲线352

16.3 围道积分353

16.4 沿圆形路的积分作为半径的函数355

16.5 对于圆的柯西积分定理356

16.6 同伦曲线356

16.7 围道积分在同伦下的不变性358

16.9 柯西积分公式359

16.8 柯西积分定理的一般形式359

16.10 回路关于一点的卷绕数360

16.11 卷绕数为零的点集的无界性361

16.12 用围道积分定义的解析函数362

16.13 解析函数的幂级数展开363

16.14 柯西不等式与刘维尔定理365

16.15 解析函数零点的孤立性365

16.16 解析函数的恒等定理366

16.17 解析函数的最大模和最小模367

16.18 开映射定理368

16.19 圆环内解析函数的洛朗展开368

16.20 孤立奇点370

16.21 函数在孤立奇点处的留数372

16.22 柯西留数定理372

16.23 区域内零点与极点的个数373

16.24 用留数的方法求实值积分的值374

16.25 用留数计算的方法求高斯和的值376

16.26 留数定理对于拉普拉斯变换反演公式的应用379

16.27 共形映射380

练习382

进一步参考文献388

特殊符号索引389

索引391