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第0章 基础1

0.1多项式计算1

0.2二进制数4

0.2.1十进制到二进制的转换5

0.2.2二进制到十进制的转换5

0.3实数的浮点表示7

0.3.1浮点格式7

0.3.2机器表示10

0.3.3浮点数的加法12

0.4有效数字的损失15

0.5微积分回顾18

第1章 解方程22

1.1对分法22

1.1.1根隔离法22

1.1.2算法的精度和速度26

1.2不动点迭代28

1.2.1函数的不动点28

1.2.2不动点迭代的几何原理31

1.2.3不动点迭代的线性收敛性32

1.2.4停止准则37

1.3精度的界限40

1.3.1前向误差和后向误差41

1.3.2 Wilkinson多项式44

1.3.3求根的灵敏度45

1.4 Newton法49

1.4.1 Newton法的二次收敛性50

1.4.2 Newton法的线性收敛性53

1.5不用导数求根58

1.5.1割线法及其变形58

1.5.2 Brent方法62

第2章 方程组67

2.1高斯消去法67

2.1.1基本的高斯消去法68

2.1.2运算计数70

2.2 LU分解75

2.2.1高斯消去法的矩阵形式75

2.2.2利用LU分解的回代过程78

2.2.3 LU分解的复杂性80

2.3误差的来源83

2.3.1误差放大及条件数83

2.3.2摆动89

2.4 PA=LU分解92

2.4.1部分选主元92

2.4.2置换矩阵94

2.4.3 PA=LU分解96

2.5迭代方法101

2.5.1 Jacobi方法101

2.5.2 Gauss-Seidel方法和SOR104

2.5.3迭代方法的收敛性107

2.5.4稀疏矩阵计算108

2.6共轭梯度法115

2.6.1正定矩阵115

2.6.2共轭梯度法116

2.7非线性方程组系统120

2.7.1多变量Newton方法120

2.7.2 Broyden方法124

第3章 插值128

3.1数据和插值函数128

3.1.1 Lagrange插值129

3.1.2 Newton均差131

3.1.3经过n个点的d次多项式有多少个135

3.1.4插值编码136

3.1.5用近似多项式表示函数138

3.2插值误差142

3.2.1插值误差公式142

3.2.2 Newton形式和误差公式的证明144

3.2.3 Runge现象146

3.3 Chebyshev插值149

3.3.1 Chebyshev定理149

3.3.2 Chebyshev多项式151

3.3.3区间的改变153

3.4三次样条157

3.4.1样条的性质158

3.4.2端点条件165

3.5 Bezier曲线170

第4章 最小二乘179

4.1最小二乘和正规方程179

4.1.1不相容方程组179

4.1.2数据拟合模型184

4.1.3最小二乘的条件作用188

4.2模型综述192

4.2.1周期数据192

4.2.2数据线性化195

4.3 QR分解202

4.3.1 Gram-Schmidt正交化和最小二乘202

4.3.2 Householder反射208

4.4非线性最小二乘214

4.4.1 Gauss-Newton方法214

4.4.2带非线性系数的模型217

第5章 数值微分和数值积分224

5.1数值微分224

5.1.1有限差分公式224

5.1.2舍入误差228

5.1.3外推230

5.1.4符号微分法和符号积分法232

5.2数值积分的Newton-cotes公式235

5.2.1梯形法则236

5.2.2 Simpson法则237

5.2.3复合Newton-Cotes公式240

5.2.4开Newton-Cotes方法242

5.3 Romberg积分245

5.4自适应求积249

5.5 Gauss求积253

第6章 常微分方程261

6.1初值问题261

6.1.1 Euler方法263

6.1.2解的存在性、唯一性和连续性268

6.1.3一阶线性方程271

6.2初值问题解法分析273

6.2.1局部截断误差和整体截断误差273

6.2.2显式梯形方法277

6.2.3 Taylor方法280

6.3常微分方程组282

6.3.1高阶方程284

6.3.2计算机模拟：摆285

6.3.3计算机模拟：轨道力学289

6.4 Runge-Kutta方法及其应用294

6.4.1 Runge-Kutta族294

6.4.2计算机模拟：Hodgkin-Huxley神经元297

6.4.3计算机模拟：Lorenz方程299

6.5变步长方法305

6.5.1嵌入Runge-Kutta对305

6.5.2 4/5阶方法307

6.6隐式方法和刚性方程312

6.7多步方法316

6.7.1生成多步方法316

6.7.2显式多步方法319

6.7.3隐式多步方法322

第7章 边值问题328

7.1打靶法328

7.1.1边值问题的解328

7.1.2打靶法的实现332

7.2有限差分方法337

7.2.1线性边值问题337

7.2.2非线性边值问题340

7.3配置法与有限元法345

7.3.1配置法346

7.3.2有限元和Galerkin方法348

第8章 偏微分方程355

8.1抛物型偏微分方程355

8.1.1前向差分方法356

8.1.2前向差分方法的稳定性分析360

8.1.3后向差分方法362

8.1.4 Crank-Nicolson方法364

8.2双曲型方程370

8.2.1波动方程370

8.2.2 CFL条件373

8.3椭圆型方程376

8.3.1椭圆型方程的有限差分方法377

8.3.2椭圆型方程的有限元方法385

第9章 随机数及其应用397

9.1随机数397

9.1.1伪随机数398

9.1.2指数随机数和正态随机数403

9.2蒙特卡罗模拟405

9.2.1蒙特卡罗估计的幂定律406

9.2.2拟随机数407

9.3离散布朗运动和连续布朗运动412

9.3.1随机游动412

9.3.2连续布朗运动414

9.4随机微分方程417

9.4.1将噪声引入微分方程417

9.4.2随机微分方程的数值方法420

第10章 三角插值和快速Fourier变换431

10.1 Fourier变换431

10.1.1复算术432

10.1.2离散Fourier变换434

10.1.3快速Fourier变换436

10.2三角插值439

10.2.1 DFT插值定理439

10.2.2三角函数的有效求值443

10.3 FFT和信号处理447

10.3.1正交性和插值447

10.3.2用三角函数进行最小二乘拟合449

10.3.3声音、噪声和过滤453

第11章 压缩459

11.1离散余弦变换459

11.1.1一维离散余弦变换460

11.1.2 DCT和最小二乘逼近462

11.2二维DCT和图像压缩465

11.2.1二维DCT465

11.2.2图像压缩469

11.2.3量化471

11.3 Huffman编码478

11.3.1信息论和编码479

11.3.2 JPEG格式的Huffman编码481

11.4改进的DCT和音频压缩485

11.4.1 MDCT485

11.4.2位的量化491

第12章 特征值和奇异值497

12.1幂迭代方法497

12.1.1幂迭代498

12.1.2幂迭代的收敛性500

12.1.3逆幂迭代501

12.1.4 Rayleigh商迭代503

12.2 QR算法505

12.2.1同时迭代505

12.2.2实Schur形式和QR算法509

12.2.3上Hessenberg形式511

12.3奇异值分解519

12.3.1一般情况下求SVD522

12.3.2特殊情形：对称矩阵523

12.4 SVD的应用525

12.4.1 SVD的性质525

12.4.2降维526

12.4.3压缩528

12.4.4计算SVD529

第13章 最优化533

13.1没有导数的无约束最优化534

13.1.1黄金分割探索534

13.1.2连续抛物线插值法537

13.1.3 Nelder-Mead搜索540

13.2带导数的无约束最优化543

13.2.1牛顿法543

13.2.2最速下降法545

13.2.3共轭梯度法546

附录A矩阵代数551

附录B MATLAB简介556

参考文献563