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第一章 误差的基本知识1

1 误差的来源1

2 近似数的误差估计2

2.1 绝对误差与相对误差2

2.2 估差公式与误差限3

2.3 有效数字与误差估计4

3 和、差、积、商的误差估计8

3.1 和、差、积、商的绝对误差的估计8

3.2 和、差、积、商的相对误差的估计9

4 数值计算中要注意的几个问题12

本章小结14

习题一14

第二章 线性代数方程组的数值解法16

1 Gauss消去法17

1.1 Gauss消去法的消元公式17

1.2 Gauss消去法的回代公式19

1.3 Gauss消去法的计算量22

1.4 Gauss消去法的可行性定理23

2 Gauss主元素消去法24

2.1 选主元的必要性24

2.2 主元的选法26

3 LU分解法29

3.1 不选主元的LU分解法30

3.2 选主元的LU分解法34

3.3 LU分解的存在与唯一性定理36

4 特殊矩阵的三角分解法37

4.1 Cholesky分解法37

4.2 追赶法42

4.3 带状矩阵的三角分解法44

5 向量与矩阵的范数47

5.1 向量的范数47

5.2 矩阵的范数49

6 Gauss消去法的误差分析51

6.1 计算机上的舍入误差51

6.2 方程组对舍入误差的敏感性52

6.3 消元误差的估计54

6.4 三角方程组解的误差估计55

7 迭代法55

7.1 Jacobi迭代法56

7.2 Gauss-Seidei迭代法59

7.3 松驰法60

8 迭代法的收敛条件及误差估计63

8.1 问题的引出63

8.2 准备知识64

8.3 迭代法的收敛定理65

9 Housholder方法与矩阵的QR分解67

9.1 H方法的基本思想68

9.2 正交矩阵QT的计算68

9.3 矩阵A及右端b的约化公式72

10 矛盾方程组的近似解法78

10.1 矩阵的奇异值分解78

10.2 矛盾方程组的最小二乘解80

10.3 广义逆矩阵与最小二乘解81

11 解大型稀疏方程组的技巧问题82

本章小结84

习题二85

第三章 函数逼近方法88

1 Lagrange插值法88

1.1 Lagrange插值多项式的构造89

1.2 插值多项式的余项94

2 Newton插值法97

2.1 差商及其性质98

2.2 Newton插值多项式99

3 Hermite插值法102

3.1 Hermite插值多项式的构造102

3.2 Hermite插值余项104

4 样条插值法106

4.1 样条函数的概念107

4.2 三次样条函数108

5 二元函数分片插值法113

5.1 问题的提出113

5.2 矩形域上的分片插值问题114

5.3 三角形域上的分片插值问题120

6 曲线的拟合——最小二乘法124

6.1 直线型函数的拟合124

6.2 n次拟合多项式126

6.3 双曲函数与指数函数的拟合129

7 最佳平方逼近与广义多项式131

7.1 最佳平方逼近131

7.2 广义多项式131

7.3 最佳平方逼近问题的一般形式132

7.4 最佳平方逼近多项式的存在与唯一性134

8 正交多项式与广义Fourier和136

8.1 正交函数系136

8.2 广义Fourier和137

8.3 Toepler定理138

9 函数的磨光141

9.1 问题的提出141

9.2 磨光函数及其应用142

9.3 数据的平滑147

10 快速Fourier变换（FFT）150

10.1 问题的提出150

10.2 快速Fourier变换（FFT）154

本章小结163

习题三164

第四章 数值微分与数值积分166

1 数值微分法166

1.1 利用差商求数值微商166

1.2 利用插值多项式求数值微商168

2 数值积分法的三个基本问题171

2.1 数值积分的必要性171

2.2 数值积分法的三个基本问题172

3 Newton-Cotes型求积公式174

3.1 公式的一般形式174

3.2 常用的Newton-Cotes公式175

3.3 复化求积公式179

3.4 区间逐次分半法184

3.5 Romberg方法187

4 Gauss型求积公式192

4.1 问题的提出192

4.2 常用的正交多项式195

4.3 Gauss型求积公式的构造及其误差197

4.4 常用的Gauss型求积公式198

5 重积分的数值积分法简介205

5.1 复化梯形公式205

5.2 复化抛物形公式205

5.3 Gauss型求积公式206

本章小结206

习题四208

第五章 常微分方程的数值解法210

1 解常微分方程初值问题的Euler方法211

1.1 Euler方法211

1.2 改进的Euler方法212

2 Taylor展开法与截断误差215

2.1 Taylor展开法215

2.2 局部截断误差及其“阶”216

3 Runge-Kutta方法218

3.1 R-K方法的基本思想219

3.2 N级R-K公式219

3.3 标准4级4阶R-K公式222

4 线性多步法223

5 一阶微分方程组的解法227

6 常微分方程边值问题的数值解法229

本章小结232

习题五233

第六章 偏微分方程的差分解法235

1 椭圆型方程的差分解法235

1.1 差分方程的建立235

1.2 边界条件的处理239

1.3 差分格式的性质244

2 抛物型方程的差分解法247

2.1 一维抛物型方程的差分格式247

2.2 差分格式的收敛性和稳定性254

2.3 二维抛物型方程的差分格式262

3 双曲型方程的差分解法266

本章小结269

习题六271

第七章 微分方程的其他近代数值解法简介273

1 一维问题的有限元法273

1.1 单元剖分与构造基函数274

1.2 单元刚度矩阵和单元荷载向量276

1.3 总刚度矩阵和总荷载向量277

1.4 有限元法的解题步骤279

2 二维问题的有限元法283

2.1 单元剖分284

2.2 确定单元基函数285

2.3 单元刚度矩阵与单元荷载向量287

2.4 总体合成291

2.5 有限元方程组292

3 边界积分方程法298

3.1 积分方程299

3.2 边界积分方程303

3.3 边界积分方程的离散化305

4 积分守恒型方程的差分化——积分插值法307

4.1 两点边值问题的差分化308

4.2 热传导问题的差分化310

4.3 三角网格上的差分格式313

5 广义差分法317

5.1 广义Galerkin方法318

5.2 广义差分法318

主要参考文献327

人名索引328