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第一章 函数与极限1

第一节 变量与函数2

一、实数及其性质2

二、数轴、集合、区间、邻域3

三、函数及其图形6

四、几类重要的分段函数9

五、函数的几种特性11

六、反函数12

七、函数的四则运算法则与复合函数13

八、初等函数与双曲函数14

习题1-116

第二节 数列的极限18

一、数列极限的定义18

二、收敛数列的性质23

三、收敛数列的四则运算25

四、数列极限存在的判别准则27

五、子数列的收敛性30

六、重要极限31

习题1-232

第三节 函数的极限34

一、自变量趋于有限值时函数的极限34

二、自变量趋于无穷大时函数的极限36

三、单侧极限37

四、函数极限的性质39

五、无穷小量与无穷大量41

六、函数极限与数列极限的关系46

习题1-347

第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限49

一、函数极限的四则运算49

二、复合函数的极限运算52

习题1-454

第五节 重要极限 无穷小的比较55

一、函数极限存在准则55

二、两个重要极限55

三、无穷小阶的比较59

习题1 562

第六节 函数的连续性与间断点64

一、函数的连续性概念64

二、连续函数的运算法则67

三、函数的间断点及其分类70

四、闭区间上连续函数的性质72

习题1-677

第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用80

一、Mathematica基础知识80

二、Mathematica在函数、极限中的应用87

本章小结91

总习题一96

第二章 导数与微分99

第一节 导数的概念100

一、引例100

二、导数的定义102

三、导函数105

四、导数的几何意义107

五、函数的可导性与连续性的关系107

六、导数在其它学科中的含义——变化率109

习题2-1110

第二节 微分的概念112

一、微分的定义112

二、微分的几何意义115

三、利用微分进行近似计算116

习题2-2118

第三节 函数的微分法119

一、函数和、差、积、商的导数与微分法则119

二、复合函数的微分法122

三、反函数的微分法126

四、初等函数的微分127

习题2-3130

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数133

一、隐函数求导133

二、对数求导法135

三、参数方程确定的函数的导数138

四、相关变化率141

习题2-4142

第五节 高阶导数与高阶微分143

一、高阶导数143

二、高阶求导法则146

三、高阶微分149

习题2-5150

第六节 Mathematica的应用——导数与微分的计算152

一、基本命令152

二、实验举例152

第七节 几种常用的曲线154

本章小结158

总习题二160

第三章 微分中值定理与导数的应用163

第一节 微分中值定理163

一、罗尔定理164

二、拉格朗日中值定理166

三、柯西中值定理169

习题3-1172

第二节 洛必达法则173

一、0/0型未定式174

二、∞/∞型未定式175

三、其它类型的未定式176

习题3-2180

第三节 泰勒公式181

习题3-3189

第四节 函数的单调性与极值判定190

一、函数的单调性及其判定190

二、函数的极值及其判定194

三、最大值和最小值问题199

习题3-4203

第五节 曲线的凹凸性与拐点206

习题3-5210

第六节 函数图形的描绘211

一、曲线的渐近线211

二、函数的作图213

习题3-6218

第七节 曲率218

一、曲率218

二、曲率圆与曲率半径224

三、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线225

习题3-7227

第八节 Mathematica在导数中的应用228

一、基本命令228

二、实验举例229

本章小结230

总习题三236

第四章 一元函数积分学及其应用238

第一节 定积分的概念239

一、定积分问题举例239

二、定积分定义241

三、定积分的存在性244

习题4-1246

第二节 定积分的性质246

一、定积分的基本性质246

二、积分中值定理250

习题4-2253

第三节 微积分基本公式与基本定理254

一、微积分基本公式254

二、微积分基本定理256

习题4-3261

第四节 不定积分的基本积分法264

一、不定积分概念与性质264

二、基本积分表266

三、换元积分法268

四、分部积分法281

习题4-4286

第五节 有理函数的积分289

一、有理函数的积分289

二、可化为有理函数的积分293

习题4-5299

第六节 定积分的计算法300

习题4-6305

第七节 定积分的应用308

一、定积分的元素法308

二、定积分在几何学中的应用310

三、定积分在物理学中的应用320

习题4-7324

第八节 反常积分327

一、问题提出328

二、无穷限的反常积分329

三、无界函数的反常积分332

四、反常积分的审敛法335

五、Γ函数341

习题4-8343

第九节 Mathematica在一元积分学中的应用345

一、不定积分的计算345

二、定积分的计算347

三、定积分的应用348

本章小结349

总习题四360

第五章 无穷级数365

第一节 常数项级数的概念与性质366

一、常数项级数的概念366

二、收敛级数的基本性质369

三、柯西收敛原理371

习题5-1372

第二节 常数项级数的审敛法374

一、正项级数及其审敛法374

二、交错级数及其审敛法380

三、绝对收敛与条件收敛382

习题5-2388

第三节 幂级数390

一、函数项级数的概念390

二、幂级数及其收敛性391

三、幂级数的运算396

四、和函数的性质397

习题5-3399

第四节 函数展开成幂级数及其应用400

一、泰勒级数400

二、函数展开成幂级数402

三、函数幂级数展开式的应用409

习题5-4417

第五节 傅里叶级数417

一、问题的提出417

二、三角函数系的正交性420

三、函数展开成傅里叶级数421

四、正弦级数与余弦级数425

五、定义在有限区间［a，b］上的函数展开成傅里叶级数427

六、定义在区间［0，l］上的函数展开成正弦级数或余弦级数429

七、傅里叶级数的复数形式431

习题5-5433

第六节 Mathematica在级数中的应用434

一、基本命令434

二、实验举例435

本章小结436

总习题五442

习题答案与提示445

参考文献468