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第1章 复数的基本概念1

1.1 复数及其运算1

1.1.1 复数的定义1

1.1.2 实部和虚部1

1.1.3 相等1

1.1.4 复数的四则运算1

1.1.5 复数的共轭运算1

1.2 复数的几何表示2

1.2.1 复平面2

1.2.2 复球面4

1.2.3 无穷远点4

1.3 复数的幂与方根5

1.3.1 复数的乘积与商5

1.3.2 复数的幂5

1.3.3 复数的根6

1.4 复数序列的极限6

1.4.1 复数的序列6

1.4.2 聚点与极限6

1.4.3 复数序列极限存在的充分必要条件——柯西判别法7

1.4.4 极限趋于无穷8

第2章 解析函数9

2.1 复变函数9

2.1.1 区域9

2.1.2 复变函数的定义10

2.1.3 复变函数的极限11

2.1.4 复变函数的连续性12

2.2 复变函数的导数13

2.2.1 导数与微分13

2.2.2 可导的充分必要条件15

2.2.3 求导的运算法则16

2.3 解析函数的定义和判定条件16

2.3.1 解析函数的定义16

2.3.2 函数解析的充分必要条件16

2.3.3 解析函数的运算法则17

2.4 解析函数与调和函数的关系17

2.4.1 调和函数17

2.4.2 共轭调和函数18

2.5 单值初等函数19

2.5.1 幂函数19

2.5.2 指数函数19

2.5.3 三角函数和双曲函数20

第3章 多值函数及其单值分支22

3.1 对数函数w=lnz23

3.2 幂函数w＝（z-a）α27

3.3 反三角函数和反双曲函数30

3.4 多值函数的四则运算32

3.5 多值函数的复合函数35

第4章 复变函数的积分38

4.1 复变函数积分的概念38

4.1.1 复变函数积分的定义38

4.1.2 积分的计算39

4.1.3 复变函数积分的几个基本性质40

4.2 柯西积分定理40

4.3 不定积分41

4.4 柯西积分公式及其推论42

第5章 复数项级数和复变函数项级数45

5.1 复级数45

5.1.1 复数列45

5.1.2 复数项级数45

5.1.3 复变函数项级数46

5.2 幂级数49

5.2.1 幂级数的敛散性质49

5.2.2 幂级数？cnzn收敛半径的求法50

5.2.3 幂级数？cnzn和的解析性50

5.3 解析函数的泰勒展开52

5.3.1 泰勒定理52

5.3.2 一些初等函数的泰勒展开式53

5.4 解析函数的洛朗展开55

5.4.1 洛朗级数55

5.4.2 环形区域上解析函数的洛朗展开55

第6章 留数理论及其应用57

6.1 孤立奇点57

6.1.1 奇点的分类57

6.1.2 零点与极点的关系58

6.1.3 解析函数在无穷远点的性质59

6.2 留数定理60

6.2.1 留数的概念60

6.2.2 留数的求法60

6.2.3 在无穷远点处的留数61

6.2.4 留数定理62

6.3 用留数定理计算实积分63

6.3.1 ？R（sinx,cosx）dx型积分的计算63

6.3.2 ？f（x）型积分的计算64

6.3.3 含三角函数的无穷型积分的计算66

6.4 积分路线上有奇点类型积分的计算67

6.5 多值函数的积分70

6.5.1 含多值函数的无穷限反常积分70

6.5.2 含有两个幂函数乘积的积分72

6.5.3 利用含有对数函数的被积函数求其他积分74

6.6 其他积分例子75

第7章 含参变量的积分77

7.1 解析函数的定义域延拓77

7.2 含参变量的积分78

7.3 Г函数80

7.4 B函数85

第8章 傅里叶变换87

8.1 傅里叶积分公式87

8.1.1 傅里叶级数的三角形式87

8.1.2 傅里叶级数的复指数形式88

8.1.3 非周期函数的展开问题88

8.2 傅里叶变换89

8.3 单位脉冲函数——δ函数89

8.3.1 δ函数的定义90

8.3.2 广义傅里叶变换90

8.4 傅里叶积分的性质91

8.5 傅里叶变换的应用93

第9章 拉普拉斯变换95

9.1 拉普拉斯变换的概念95

9.2 拉普拉斯变换及其逆变换的定义96

9.3 拉普拉斯变换的存在定理97

9.4 周期函数的拉普拉斯变换99

9.5 关于拉普拉斯变换的积分下限问题100

9.6 拉普拉斯变换的基本性质100

9.7 象原函数的求法104

9.8 拉普拉斯变换的应用106

9.8.1 解常系数线性微分方程的初值问题106

9.8.2 求解常系数线性微分方程的边值问题107

9.8.3 解某些变系数线性微分方程107

9.8.4 求解某些积分方程、微分积分方程108

9.8.5 解常系数线性微分方程组108

第10章 二阶线性常微分方程的级数解法110

10.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点110

10.2 方程常点邻域内的解110

10.3 方程正则奇点邻域内的解112

第11章 典型方程的推导及基本概念119

11.1 典型方程的导出119

11.1.1 弦的微小横振动方程119

11.1.2 在固体中的热传导方程121

11.1.3 拉普拉斯方程和泊松方程123

11.2 定解条件123

11.2.1 初始条件124

11.2.2 边界条件124

11.2.3 定解问题及其分类126

11.2.4 定解问题的适定性127

11.2.5 叠加原理128

第12章 行波法129

12.1 行波法129

12.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法129

12.1.2 达朗贝尔公式的物理意义130

12.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域131

12.1.4 有累积效应与无累积效应131

12.1.5 非齐次方程与齐次化原理132

12.2 延拓法求解半无限长振动问题133

12.2.1 半无限长弦的自由振动问题133

12.2.2 半无限长弦的强迫振动问题134

12.3 高维波动方程的初值问题135

12.3.1 平均值法求解三维波动方程初值问题136

12.3.2 降维法137

第13章 分离变量法139

13.1 有界弦的自由振动139

13.1.1 分离变量法的求解过程139

13.1.2 关于求解过程的评注142

13.1.3 波动方程的物理意义143

13.2 有限长杆上的热传导问题144

13.2.1 使用分离变量法求解第一类齐次边界条件的定解问题144

13.2.2 使用分离变量法求解其他类型的齐次边界条件定解问题145

13.3 非齐次方程的求解问题146

13.4 非齐次边界条件的处理149

第14章 常微分方程的本特征值问题154

14.1 二阶线性常微分方程的本征值问题154

14.2 斯特姆-刘维尔方程的本征值问题156

14.3 两类本征值问题的相互转化157

第15章 亥姆霍兹方程在不同坐标系下的表现形式158

15.1 拉普拉斯算子在不同坐标系下的表现形式158

15.2 球坐标系和柱坐标系中亥姆霍兹方程的变数分离162

15.3 圆内的狄里希累问题165

第16章 勒让德多项式167

16.1 勒让德方程的求解167

16.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式170

16.3 勒让德级数171

16.4 连带的勒让德多项式173

第17章 贝塞尔函数176

17.1 贝塞尔方程及其求解176

17.2 贝塞尔函数177

17.3 贝塞尔函数的性质179

17.3.1 母函数和积分表示179

17.3.2 微分关系和递推公式179

17.3.3 半阶函数181

17.3.4 贝塞尔函数的零点和衰减振荡特性183

17.4 贝塞尔方程的固有值问题184

17.5 贝塞尔函数的应用186

17.6 球贝塞尔函数和变型（虚宗量）贝塞尔函数187

第18章 格林函数189

18.1 亥姆霍兹方程的格林函数189

18.2 格林函数的性质192

18.3 广义格林函数195

18.4 全空间上的格林函数——基本解197

18.5 求特殊形状区域内格林函数的电像法201

18.6 含时间问题的格林函数及其应用203

18.7 格林函数的级数解法206

第19章 求解微分方程定解问题积分变换法的普遍原理211

19.1 基本原理211

19.2 一些积分变换的例子214

参考文献218