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第5章 约束最优化与均衡1

5.1 数学规划的必要条件1

5.1.1 具有几何约束的极小化问题1

5.1.2 算子约束下的必要条件6

5.1.3 泛函约束下的必要条件17

5.1.4 约束问题的次优性条件34

5.2 具有均衡约束的数学规划39

5.2.1 抽象MPEC的必要条件40

5.2.2 作为均衡约束的变分系统43

5.2.3 利用精确惩罚的MPEC的修正下次微分条件51

5.3 多目标最优化59

5.3.1 多目标问题的最优解60

5.3.2 广义序最优性62

5.3.3 集值映射的极点原理71

5.3.4 相对于闭序的最优性条件79

5.3.5 具有均衡约束的多目标最优化85

5.4 线性率下的次极性和次优性94

5.4.1 集合系统的线性次极性95

5.4.2 多目标最优化中的线性次优性100

5.4.3 极小化问题的线性次优性109

5.5 第5章的评注114

5.5.1 分析和最优化之间的双边关系114

5.5.2 非光滑分析和最优化中的下和上次梯度115

5.5.3 凸函数及凸函数的差的极大化问题116

5.5.4 约束极小化的上次微分条件117

5.5.5 约束极小化的下次微分最优性和规范条件118

5.5.6 具有算子约束的最优化问题119

5.5.7 由基本分析法则处理算子约束120

5.5.8 精确惩罚与弱化的度量正则性121

5.5.9 有限多泛函约束下的必要最优性条件122

5.5.10 Lagrange原理123

5.5.11 混合乘子法则124

5.5.12 非Lipschitz数据问题的必要条件125

5.5.13 次优性条件125

5.5.14 具有均衡约束的数学规划127

5.5.15 利用基本分析法则的MPEC的必要最优性条件128

5.5.16 MPEC最优性条件中的精确惩罚和平静性129

5.5.17 多目标最优化和均衡的约束问题130

5.5.18 多目标最优化中的解的概念130

5.5.19 广义序最优性的必要条件131

5.5.20 极点原理的集值映射推广版本131

5.5.21 具有闭序关系的多目标问题的必要条件132

5.5.22 具有均衡约束的均衡问题133

5.5.23 线性率下的次极性和次优性134

5.5.24 多目标问题的线性集合次极性和线性次优性134

5.5.25 约束最优化中的线性次极小值135

第6章 Banach空间中发展系统的最优控制137

6.1 离散时间和连续时间发展型包含的最优控制137

6.1.1 微分包含及其离散逼近138

6.1.2 微分包含的Bolza问题与松弛稳定性145

6.1.3 Bolza问题的适定离散逼近151

6.1.4 离散时间包含的必要最优性条件158

6.1.5 松弛极小点的Euler-Lagrange条件170

6.2 无松弛微分包含的必要最优性条件180

6.2.1 中间局部极小点的Euler-Lagrange和最大值条件181

6.2.2 讨论和例子188

6.3 具有光滑动态的连续时间系统的最大值原理195

6.3.1 主要结果的阐述和讨论196

6.3.2 自由端点问题的最大值原理201

6.3.3 不等式约束问题的横截性条件205

6.3.4 等式约束问题的横截性条件209

6.4 最优控制中的近似最大值原理212

6.4.1 离散时间控制系统的确切和近似最大值原理213

6.4.2 一致上次可微函数217

6.4.3 自由端点控制系统的近似最大值原理221

6.4.4 端点约束下的近似最大值原理：肯定和否定的陈述229

6.4.5 在端点约束下的近似最大值原理：证明及应用236

6.4.6 时滞和中立型控制系统249

6.5 第6章的评注254

6.5.1 变分法与最优控制254

6.5.2 微分包含255

6.5.3 光滑或图凸（graph-convex）微分包含的最优性条件256

6.5.4 Clarke的Euler-Lagrange条件257

6.5.5 Clarke的Hamilton条件258

6.5.6 横截性条件259

6.5.7 凸值微分包含的广义Euler-Lagrange条件260

6.5.8 非凸值微分包含的广义Euler-Lagrange和Weierstrass-Pontryagin条件262

6.5.9 对偶性与广义Hamilton条件的形式264

6.5.10 非光滑最优控制中的其他技巧和结果265

6.5.11 最优控制中的对偶与本原空间方法267

6.5.12 离散逼近方法269

6.5.13 发展包含的离散逼近270

6.5.14 中间局部极小点271

6.5.15 松弛稳定性和隐含凸性272

6.5.16 离散逼近的收敛性273

6.5.17 离散逼近的必要最优性条件274

6.5.18 由离散逼近取极限276

6.5.19 无松弛的Euler-Lagrange和最大值条件277

6.5.20 微分包含最优控制中相关的论题和结果278

6.5.21 基于增量方法的本原空间方法278

6.5.22 像空间中的多针形变分和凸分离279

6.5.23 离散最大值原理280

6.5.24 自由端点离散参数系统的必要条件281

6.5.25 约束离散逼近的近似最大值原理282

6.5.26 近似最大值原理的非光滑形式283

6.5.27 近似最大值原理的应用284

6.5.28 时滞系统中的近似最大值原理284

第7章 分布系统的最优控制285

7.1 时滞微分-代数包含的优化285

7.1.1 微分-代数包含的离散逼近287

7.1.2 离散逼近的强收敛295

7.1.3 差分-代数系统的必要最优条件299

7.1.4 微分-代数系统的Euler-Lagrange和Hamilton条件304

7.2 半线性约束双曲方程的Neumann边界控制310

7.2.1 问题的表述和Neumann边界控制的必要最优条件310

7.2.2 Neumann问题中状态和伴随系统的分析314

7.2.3 针形变分和增量公式320

7.2.4 必要最优条件的证明323

7.3 线性约束双曲方程的Dirichlet边界控制328

7.3.1 Dirichlet控制问题的表述和主要结果329

7.3.2 Dirichlet最优控制的存在性331

7.3.3 Dirichlet问题中的伴随系统332

7.3.4 最优条件的证明336

7.4 逐点状态约束下抛物系统的极小极大控制339

7.4.1 问题的表述与分拆339

7.4.2 适度解的性质和极小极大存在定理343

7.4.3 最差扰动的次最优条件348

7.4.4 最差扰动的次最优控制359

7.4.5 状态约束下的必要最优条件363

7.5 第7章的评注374

7.5.1 分布与集总（集中）参数控制系统374

7.5.2 状态变量具有时滞的系统375

7.5.3 中立型遗传系统375

7.5.4 时滞微分包含376

7.5.5 中立型微分包含377

7.5.6 微分-代数系统378

7.5.7 时滞的正则化角色380

7.5.8 偏微分控制系统380

7.5.9 偏微分系统的边界控制381

7.5.10 双曲方程的Neumann边界控制382

7.5.11 以Ekeland变分原理处理逐点状态约束382

7.5.12 针形扩散控制扰动383

7.5.13 双曲系统的Dirichlet边界控制384

7.5.14 优化与控制中的极小极大问题385

7.5.15 约束抛物系统的极小极大控制385

7.5.16 具有Dirichlet边界条件的抛物系统的适度解及其性质386

7.5.17 具有非正则／非光滑数据的约束抛物系统的分布控制386

7.5.18 具有逐点状态约束的抛物系统的Dirichlet边界控制387

7.5.19 控制系统的反馈综合／整合和极小极大设计388

第8章 经济学应用390

8.1 福利经济学模型390

8.1.1 基本概念和模型描述390

8.1.2 Pareto和弱Pareto最优配置净需求规范条件393

8.2 非凸经济学的第二福利定理396

8.2.1 第二福利定理的近似版本396

8.2.2 第二福利定理的确切版本400

8.3 有序商品空间的非凸经济403

8.3.1 正的边际价格403

8.3.2 强Pareto最优的改进结果405

8.4 抽象版本和进一步扩展409

8.4.1 第二福利定理的抽象版本409

8.4.2 公共商品及交换限制414

8.5 第8章的评注415

8.5.1 福利经济中的竞争均衡和Pareto最优415

8.5.2 福利经济学的凸模型416

8.5.3 进入非凸领域417

8.5.4 极点原理和福利经济学模型非凸分离418

8.5.5 基本模型及解的概念418

8.5.6 规范条件419

8.5.7 第二福利定理的近似版本420

8.5.8 法紧条件下第二福利定理的确切版本421

8.5.9 有序商品空间中的Pareto最优性422

8.5.10 没有规范条件的强Pareto最优性423

8.5.11 非线性定价423

8.5.12 抽象版本425

8.5.13 进一步扩展425

参考文献427

陈述表493

记号表505

索引509

《现代数学译丛》已出版书目524