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第1章 自然边界元方法的一般原理1

1.1 引言1

1.2 边界归化与边界元方法3

1.2.1 间接边界归化3

1.2.2 直接边界归化10

1.2.3 边界积分方程的数值解法11

1.3 自然边界归化的基本思想13

1.3.1 椭圆边值问题的自然边界归化14

1.3.2 Neumann问题的等价变分问题19

1.3.3 自然积分算子的表达式21

1.4 超奇异积分的数值计算24

1.4.1 积分核级数展开法24

1.4.2 奇异部分分离计算法27

1.4.3 有限部分积分的近似求积公式34

1.4.4 正则化方法及间接计算法41

1.5 自然边界元解的收敛性与误差估计43

1.5.1 近似变分问题及其解的收敛性44

1.5.2 边界上的误差估计47

1.5.3 区域内的误差估计53

1.6 关于Poisson积分公式的计算55

1.6.1 利用特解求近边界点的解函数值55

1.6.2 误差估计58

第2章 调和方程边值问题60

2.1 引言60

2.2 解的复变函数表示61

2.2.1 定理及其证明61

2.2.2 简单应用实例62

2.3 自然边界归化原理65

2.3.1 区域上的变分问题66

2.3.2 自然边界归化及边界上的变分问题68

2.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式72

2.4.1 Ω为上半平面72

2.4.2 Ω为圆内区域77

2.4.3 Ω为圆外区域82

2.4.4 几个简单例子82

2.5 一般单连通域上的自然边界归化87

2.5.1 保角映射与自然边界归化87

2.5.2 对角形域、扇形域与矩形域的应用89

2.6 自然积分算子及其逆算子91

2.6.1 上半平面自然积分算子92

2.6.2 圆内（外）区域自然积分算子94

2.6.3 关于一般单连通域的一个定理98

2.7 自然积分方程的直接研究104

2.7.1 上半平面自然积分方程104

2.7.2 圆内（外）区域自然积分方程105

2.8 自然积分方程的数值解法108

2.8.1 刚度矩阵系数的计算公式109

2.8.2 刚度矩阵的条件数117

2.8.3 自然边界元解的误差估计120

2.8.4 数值例子121

2.9 断裂及凹角扇形域上自然积分方程的数值解127

2.9.1 自然积分方程及其边界元解127

2.9.2 近似解的误差估计129

2.9.3 解的奇异性分析131

2.9.4 数值例子132

第3章 重调和方程边值问题136

3.1 引言136

3.2 解的复变函数表示138

3.2.1 定理及其证明139

3.2.2 简单应用实例140

3.3 自然边界归化原理143

3.3.1 区域上的变分问题143

3.3.2 自然边界归化及边界上的变分问题148

3.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式153

3.4.1 Ω为上半平面153

3.4.2 Ω为圆内区域158

3.4.3 Ω为圆外区域167

3.4.4 几个简单例子175

3.5 自然积分算子及其逆算子179

3.5.1 上半平面自然积分算子180

3.5.2 圆内区域自然积分算子181

3.5.3 圆外区域自然积分算子184

3.6 自然积分方程的直接研究185

3.6.1 上半平面自然积分方程185

3.6.2 圆内区域自然积分方程187

3.6.3 圆外区域自然积分方程193

3.7 自然积分方程的数值解法199

3.7.1 刚度矩阵系数的计算公式200

3.7.2 自然边界元解的误差估计205

3.7.3 数值例子207

3.8 多重调和方程边值问题211

3.8.1 解的复变函数表示211

3.8.2 自然边界归化原理213

3.8.3 关于上半平面的若干结果215

第4章 平面弹性问题219

4.1 引言219

4.2 解的复变函数表示222

4.2.1 定理及其证明222

4.2.2 简单应用实例226

4.3 自然边界归化原理230

4.3.1 区域上的变分问题230

4.3.2 自然边界归化及边界上的变分问题233

4.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式236

4.4.1 Ω为上半平面236

4.4.2 Ω为圆内区域241

4.4.3 Ω为圆外区域253

4.4.4 几个简单例子260

4.5 自然积分算子及其逆算子264

4.5.1 上半平面自然积分算子264

4.5.2 圆内区域自然积分算子266

4.5.3 圆外区域自然积分算子275

4.6 自然积分方程的直接研究276

4.6.1 上半平面自然积分方程277

4.6.2 圆内区域自然积分方程278

4.6.3 圆外区域自然积分方程292

4.7 自然积分方程的数值解法294

4.7.1 刚度矩阵系数的计算公式295

4.7.2 自然边界元解的误差估计299

4.7.3 数值例子301

第5章 Stokes问题304

5.1 引言304

5.2 解的复变函数表示305

5.2.1 定理及其证明305

5.2.2 简单应用实例309

5.3 自然边界归化原理312

5.3.1 Green公式313

5.3.2 自然边界归化及等价变分问题315

5.4 典型域上的自然积分方程及Poisson积分公式318

5.4.1 Ω为上半平面318

5.4.2 Ω为圆外区域322

5.4.3 Ω为圆内区域329

5.4.4 几个简单例子332

5.5 自然积分算子及其逆算子337

5.5.1 上半平面自然积分算子337

5.5.2 圆外区域自然积分算子339

5.5.3 圆内区域自然积分算子344

5.6 自然积分方程的直接研究350

5.6.1 上半平面自然积分方程351

5.6.2 圆外区域自然积分方程352

5.6.3 圆内区域自然积分方程359

5.7 自然积分方程的数值解法370

5.7.1 刚度矩阵系数的计算公式371

5.7.2 自然边界元解的误差估计374

5.7.3 数值例子376

第6章 自然边界元与有限元耦合法377

6.1 引言377

6.2 耦合法解调和方程边值问题378

6.2.1 断裂区域问题378

6.2.2 无界区域问题386

6.2.3 数值例子389

6.3 耦合法解重调和方程边值问题392

6.3.1 耦合法原理392

6.3.2 收敛性与误差估计394

6.4 耦合法解平面弹性问题397

6.4.1 耦合法原理397

6.4.2 收敛性与误差估计398

6.5 耦合法解Stokes问题400

6.5.1 耦合法原理400

6.5.2 收敛性与误差估计403

6.6 无穷远边界条件的近似405

6.6.1 积分边界条件的近似405

6.6.2 误差估计409

第7章 基于自然边界归化的区域分解算法417

7.1 引言417

7.2 基于自然边界归化的重叠型区域分解算法418

7.2.1 Schwarz交替法及其收敛性419

7.2.2 收敛速度分析423

7.2.3 若干例子426

7.3 基于自然边界归化的非重叠型区域分解算法428

7.3.1 Dirichlet-Neumann交替法及其收敛性428

7.3.2 离散化及其收敛性435

7.3.3 数值例子440

7.3.4 对平面弹性问题的应用445

7.4 Steklov-Poincaré算子及其逆算子452

7.4.1 二阶椭圆边值问题452

7.4.2 重调和边值问题455

7.4.3 平面弹性问题458

7.4.4 Stokes问题460

7.4.5 预条件Steklov-Poincaré算子462

参考文献463

索引481