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第一篇 心灵智慧3

一、集合与自然数3

1.数的发展3

2.第一次数学危机4

3.质数，100以内的质数5

4.质数的无穷性5

5.质数的性质6

6.质数判定法则6

7.质数的分布6

8.关于质数的著名猜想7

9.关于质数的著名难题7

10.费马小定理9

11.费马大定理10

12.质数的应用11

13.无限集的元素个数12

14.希尔伯特旅馆14

15.集合论15

16.悖论与罗素悖论16

17.第三次数学危机17

二、方程与不等式19

1.方程的发展19

2.方程的定义21

3.方程的类别22

4.方程的同解性质22

5.一元三次方程的解公式23

6.代数基本定理23

7.不定方程与中国剩余定理（孙子定理）23

8.韦达定理24

9.代数数与超越数26

10.被誉为史上最伟大的17个方程27

11.几个著名不等式30

三、函数32

1.十七世纪的函数概念32

2.十八世纪的函数概念33

3.十九世纪的函数概念34

4.二十世纪的函数概念35

5.中文“函数”名称的由来35

6.目前我国中学教材中函数的定义35

7.幂36

8.对数发明的背景36

9.对数产生的前奏36

10.对数的发明37

11.纳皮尔发明对数的思想方法38

四、三角40

1.三角学概述40

2.三角学在西方的发展40

3.三角学在中国的发展41

4.三角函数从“线段长”到“比值”的演进42

5.正弦、余弦的发展43

6.正切、余切的发展43

7.正割、余割的发展44

8.三角函数的符号44

9.球面几何及球面三角学的简单结论45

五、数列47

1.调和级数的发散性47

2.自然数的幂和公式48

3.自然数平方幂的倒数和49

4.归纳50

5.数学归纳法51

6.第一数学归纳法51

7.第二数学归纳法51

8.数学归纳法的合理性52

9.斐波那契数列52

10.斐波那契数列的代数性质55

11.斐波那契数列的自然性质56

12.斐波那契数列的美学性质56

六、复数57

1.复数的产生57

2.复数的发展57

3.复数的成熟58

4.复数的表示形式59

5.复数的特性59

6.卡当公式59

7.欧拉公式60

8.欧拉公式的应用60

9.哈密尔顿与其四元数61

七、概率论初步63

1.杨辉三角形、帕斯卡三角形63

2.二项式定理64

3.二项式定理验证推导65

4.二项式定理推广65

5.概率论创立的背景66

6.概率论创立的肇因66

7.概率论的发展67

8.概率论的严格化和公理化68

9.概率悖论68

10.概率分析的经典案例69

11.无限猴子定理71

八、平面几何73

1.欧几里得几何73

2.几何三大难题74

3.非欧几何的产生74

4.勾股定理76

5.勾股定理的几种典型证明77

6.三角形的重心、垂心、外心、内心、旁心78

7.三角形重心、垂心、外心、内心、旁心诸定理的证明79

8.平面几何四个重要定理82

9.蝴蝶定理82

10.莫勒定理83

11.费马“三村短路”问题84

12.许瓦兹三角形问题86

13.等周问题87

九、立体几何90

1.立体几何的属性90

2.祖暅原理90

3.简单多面体的欧拉公式91

4.辛卜生公式93

5.蜂巢问题97

6.等腰四面体的充要条件99

十、平面解析几何103

1.解析几何的产生103

2.极坐标104

3.几种常见曲线的极坐标方程105

4.圆锥曲线106

5.“冰淇淋”定理107

6.圆锥曲线研究的发展108

十一、微积分初步109

1.微积分思想的西方发展109

2.微积分思想的东方发展110

3.牛顿的“流数术”110

4.莱布尼茨的“切线”分析111

5.发明权之争112

6.芝诺悖论112

7.第二次数学危机113

8.第二次数学危机的基本解决114

第二篇 旷世伟人117

一、数学之神——阿基米德117

1.非凡贡献117

2.数学之神118

3.传奇人生120

二、光明使者——牛顿122

1.名言122

2.经历123

3.自然科学成就124

4.数学成就125

5.地位125

三、数学王子——高斯127

1.经历127

2.成就129

3.地位130

四、所有人的老师——欧拉132

1.全能数学家132

2.经历133

3.成就134

五、业余数学之王——费马136

1.对数论的贡献136

2.对解析几何的贡献137

3.对微积分的贡献138

4.对概率论的贡献138

5.对光学的贡献138

6.平静而雅致的人生138

六、数学世界的亚历山大——希尔伯特140

1.经历140

2.研究141

3.论著142

4.轶事142

5.希尔伯特23个数学问题143

七、集合论创始人——康托尔146

1.生平146

2.集合论的建立147

3.超穷数理论的建立148

4.逆境148

5.曙光149

八、几何之父——欧几里得150

1.身世150

2.轶事151

3.几何原本152

4.其他著作152

5.历史地位153

九、解析几何创始人——笛卡儿154

1.巨匠生平154

2.数学成就156

3.笛卡儿坐标系156

4.轶事：蜘蛛织网156

5.故事：心脏线157

十、东方数学泰斗——祖冲之158

1.家世背景158

2.早年经历159

3.中年经历159

4.晚年生活159

5.非凡创举——祖率160

6.数学杰作——《缀术》160

7.天文成就——历法161

8.其他成就161

9.将门虎子161

第三篇 恢宏巨著165

一、《几何原本》165

1.概要165

2.体系166

3.影响169

4.缺憾169

5.传入中国170

二、《圆锥曲线论》171

1.作者简介171

2.风格特点172

3.内容结构173

三、《九章算术》174

1.作品背景174

2.主要内容175

3.特点与影响177

四、《自然哲学之数学原理》178

1.全书概述178

2.风格特点179

3.内容结构179

4.历史地位181

参考文献182