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第1章 随机事件及其概率1

1.1 随机试验、随机事件1

1.1.1 随机现象与统计规律性1

1.1.2 随机试验与样本空间2

1.1.3 随机事件、事件间的关系与运算3

习题1.15

1.2 概率的直观意义及其计算6

1.2.1 频率与概率的统计定义6

1.2.2 古典概型8

1.2.3 几何概率10

习题1.212

1.3 概率的公理化体系13

1.3.1 事件域14

1.3.2 概率的公理化定义15

习题1.316

1.4 概率的性质17

1.4.1 有限可加性17

1.4.2 减法公式与单调性17

1.4.3 加法公式18

1.4.4 概率的连续性19

习题1420

1.5 条件概率21

1.5.1 条件概率与乘法公式21

1.5.2 全概率公式与贝叶斯公式25

习题1.527

1.6 独立性28

1.6.1 两个事件的独立性28

1.6.2 多个事件的独立性29

1.6.3 试验的独立性与伯努利概型31

习题1.632

本章附录 “概率论”发展简史33

第2章 随机变量及其分布35

2.1 随机变量与离散型随机变量35

2.1.1 随机变量的概念35

2.1.2 离散型随机变量及其分布律36

习题2.137

2.2 常见的离散型随机变量38

2.2.1 两点分布38

2.2.2 二项分布38

2.2.3 泊松分布40

2.2.4 超几何分布43

2.2.5 几何分布45

2.2.6 负二项分布46

习题2.247

2.3 随机变量的分布函数48

2.3.1 分布函数的定义48

2.3.2 分布函数的性质49

习题2.351

2.4 连续型随机变量及其密度函数52

2.4.1 连续型随机变量52

2.4.2 密度函数的性质52

习题2.456

2.5 常见的连续型随机变量58

2.5.1 均匀分布58

2.5.2 指数分布60

2.5.3 正态分布61

2.5.4 伽玛分布65

2.5.5 贝塔分布66

习题2.567

2.6 随机变量函数的分布68

2.6.1 离散型随机变量函数的分布68

2.6.2 连续型随机变量函数的分布68

习题2.672

第3章 多维随机变量及其分布74

3.1 二维随机变量及其分布74

3.1.1 二维随机变量的定义、分布函数74

3.1.2 二维离散型随机变量76

3.1.3 二维连续型随机变量77

习题3.179

3.2 边缘分布80

3.2.1 边缘分布律81

3.2.2 边缘密度函数83

习题3.286

3.3 随机变量的独立性87

习题3.390

3.4 条件分布91

3.4.1 离散型随机变量的条件分布91

3.4.2 连续型随机变量的条件分布93

习题3.494

3.5 随机变量函数的分布96

3.5.1 和的分布96

3.5.2 最大值和最小值的分布99

习题3.5101

第4章 随机变量的数字特征103

4.1 数学期望103

4.1.1 数学期望的定义104

4.1.2 随机变量函数的数学期望106

4.1.3 数学期望的性质109

4.1.4 条件数学期望110

习题4.1112

4.2 方差113

4.2.1 方差的定义114

4.2.2 方差的性质116

4.2.3 常见分布的方差116

4.2.4 数学期望、方差不存在的例子120

4.2.5 条件方差120

习题4.2121

4.3 协方差、相关系数与矩122

4.3.1 协方差与相关系数122

4.3.2 独立性与不相关性125

4.3.3 矩、协方差矩阵127

习题4.3128

4.4 变异系数、分位数129

4.4.1 变异系数129

4.4.2 分位数129

4.4.3 中位数131

习题4.4132

第5章 特征函数与极限定理133

5.1 随机变量序列的两种收敛性133

5.1.1 依概率收敛133

5.1.2 按分布收敛、弱收敛133

习题5.1134

5.2 特征函数134

5.2.1 特征函数的定义134

5.2.2 特征函数的性质136

5.2.3 反演公式和唯一性定理138

习题5.2140

5.3 大数定律141

5.3.1 切比雪夫不等式141

5.3.2 几个大数定律142

习题5.3146

5.4 中心极限定理147

5.4.1 独立同分布中心极限定理148

5.4.2 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理150

习题5.4152

第6章 数理统计的基本概念154

6.1 几个基本概念154

6.1.1 总体与样本154

6.1.2 经验分布函数156

6.1.3 样本数据的频数频率分布表和直方图157

6.1.4 样本数据的分位数与中位数159

6.1.5 样本数据的五数概括与箱线图159

6.1.6 统计量与样本矩161

6.1.7 样本均值的抽样分布163

习题6.1165

6.2 三个重要抽样分布与抽样定理166

6.2.1 三个重要抽样分布166

6.2.2 正态总体下的抽样定理172

习题6.2176

6.3 充分统计量177

6.3.1 充分统计量的概念177

6.3.2 因子分解定理178

习题6.3180

本章附录 “数理统计”发展简史180

第7章 参数估计184

7.1 点估计184

7.1.1 矩估计法184

7.1.2 极大似然估计法186

习题7.1190

7.2 估计量的评选标准192

7.2.1 无偏性192

7.2.2 有效性与相合性193

7.2.3 均方误差195

7.2.4 一致最小方差无偏估计196

7.2.5 充分性原则与充分估计量196

习题7.2197

7.3 区间估计198

7.3.1 区间估计的概念198

7.3.2 枢轴量法201

7.3.3 单个正态总体均值与方差的置信区间202

7.3.4 两个正态总体均值之差与方差之比的置信区间204

7.3.5 单侧置信限206

习题7.3209

7.4 贝叶斯估计210

7.4.1 统计推断的基础210

7.4.2 贝叶斯公式的密度函数形式211

7.4.3 贝叶斯估计216

7.4.4 贝叶斯估计的误差217

习题7.4218

第8章 假设检验219

8.1 假设检验的基本思想与步骤219

8.1.1 假设检验的基本思想219

8.1.2 两类错误与假设检验的步骤222

8.1.3 检验的p值224

8.1.4 如何确定原假设H0和备择假设H1226

习题8.1227

8.2 单个正态总体均值与方差的检验228

8.2.1 单个总体均值的检验228

8.2.2 置信区间、单侧置信限与假设检验的关系230

8.2.3 单个总体方差的检验231

习题8.2233

8.3 两个正态总体均值与方差的检验235

8.3.1 两个正态总体均值之差的检验235

8.3.2 两个正态总体方差之比的检验236

习题8.3238

8.4 分布拟合检验239

习题8.4242

第9章 方差分析244

9.1 单因素方差分析244

9.1.1 数学模型245

9.1.2 方差分析245

9.1.3 用R软件作单因素方差分析247

9.1.4 用MATLAB作单因素方差分析249

9.1.5 均值的多重比较252

习题9.1254

9.2 双因素方差分析255

9.2.1 不考虑交互作用255

9.2.2 考虑交互作用258

习题9.2263

第10章 回归分析265

10.1 一元线性回归265

10.1.1 一个例子266

10.1.2 数学模型266

10.1.3 回归参数的估计267

10.1.4 回归方程的显著性检验267

10.1.5 预测275

习题10.1276

10.2 一元非线性回归278

10.2.1 一元非线性回归问题278

10.2.2 优化模型的选择280

习题10.2284

10.3 多元线性回归284

10.3.1 多元线性回归模型284

10.3.2 回归参数的估计285

10.3.3 回归方程的显著性检验286

10.3.4 预测287

10.3.5 血压、年龄以及体质指数问题289

习题10.3291

10.4 逐步回归293

10.4.1 变量的选择293

10.4.2 逐步回归的计算294

习题10.4299

附录A 数学建模及大学生数学建模竞赛简介301

附录B 概率论与数理统计实验简介307

附录C 概率论与数理统计附表314

附表1 正态分布表314

附表2 泊松分布表315

附表3 t分布表317

附表4 χ2分布表319

附表5 F分布表322

附表6 相关系数临界值rα表330

习题参考答案331

参考文献344