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第1章 数列极限1

1.1 实数的性质 两个重要不等式1

1.2 数集的确界3

1.3 数列的确界5

1.4 数列的极限7

1.5 极限运算的性质 收敛数列的性质10

1.6 极限的存在性 实数集的完备性11

1.7 极限运算和常见初等运算的关系12

1.8 无穷小数列与无穷大数列14

1.9 数e及其相关极限15

1.10 数列的上下极限16

1.11 不定型极限 Stolz法则21

第2章 函数极限26

2.1 函数及其相关概念26

2.2 函数的最值 确界 振幅28

2.3 函数极限的定义30

2.4 函数的左右极限32

2.5 函数在无穷远点的极限32

2.6 对极限定义的总结33

2.7 极限的性质 收敛函数的性质33

2.8 极限的存在性34

2.9 极限运算和常见运算的关系 求极限的变量替换法37

2.10 无穷小量与无穷大量38

2.11 不定型极限 求极限的例子40

2.12 函数的上下极限41

2.13 大O和小o44

第3章 函数的连续性46

3.1 函数在一点的连续性46

3.2 函数在一点的左右连续性 间断点的分类47

3.3 连续函数及其运算48

3.4 闭区间上连续函数的性质49

3.5 一致连续性51

第4章 微分与导数55

4.1 微分和导数的概念55

4.2 单侧导数 导函数56

4.3 导数的几何与物理意义57

4.4 求导法则59

4.5 常用导数公式60

4.6 参变量求导法 绝对值求导法 对数求导法64

4.7 微分学基本定理65

4.8 高阶导数67

4.9 微分法则 高阶微分69

4.10 L'Hospital法则70

4.11 Taylor公式73

第5章 导数的应用78

5.1 两个函数的差是常数的条件78

5.2 函数的单调性78

5.3 函数的凹凸性81

5.4 函数的最值84

5.5 函数的极值86

5.6 函数的作图87

第6章 原函数与不定积分88

6.1 原函数与不定积分的概念88

6.2 积分运算的线性性质 逐项积分法88

6.3 第一类换元积分法——凑微分法89

6.4 第二类换元积分法——参变量积分法90

6.5 分部积分法92

6.6 有理函数的积分93

6.7 三角函数有理式的积分95

6.8 无理函数的积分举例96

6.9 说明和补充例子97

第7章 定积分100

7.1 定积分的概念 微积分基本公式100

7.2 积分的性质102

7.3 函数的可积性 可积函数的一些性质103

7.4 变限积分及其性质106

7.5 分部积分法 换元积分法109

7.6 积分中值定理 分部求和公式112

7.7 函数的特性与积分的计算113

7.8 积分不等式117

补充材料 H？lder不等式和Minkowski不等式119

第8章 一元微积分的应用 向量值函数的微积分121

8.1 曲线的长度 弧长微分121

8.2 平面曲线的曲率 曲率半径122

8.3 一元向量值函数的概念 极限 连续性122

8.4 一元向量值函数的微分和导向量124

8.5一元向量值函数的积分125

第9章 广义积分127

9.1 广义积分的概念127

补充材料 广义积分的H？lder不等式和Minkowski不等式130

9.2 广义积分的收敛性130

9.3 Riemann引理 Riemann点135

9.4 三个典型的广义积分136

9.5 有限和的积分估计 有限积的阶估计137

第10章 数项级数 无穷乘积 Euler求和公式140

10.1 数项级数的概念和性质140

10.2 正项级数的收敛性146

补充材料 正项收敛级数余项的积分估计152

10.3一般项级数的收敛性152

补充材料 一般项收敛级数的余项估计155

10.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的特殊性质156

10.5 无穷乘积158

10.6 Euler求和公式 Stirling公式160

补充材料1 关于Kummer判别法162

补充材料2 根值系列判别法162

补充材料3 关于级数的两个不等式163

补充材料4 正项级数的部分和与级数收敛性的关系164

第11章 常见点集的结构 点列的极限166

11.1 平面点集的结构 二维空间R2166

11.2 空间点集的结构 三维空间R3168

11.3 n维空间Rn n维空间点集的结构169

11.4 点列的极限170

11.5 闭集套定理 有限覆盖定理 聚点原理171

第12章 多元函数的极限和连续性173

12.1 多元函数的概念173

12.2 多元函数的极限174

12.3 偏极限 累次极限换序的充分条件176

12.4 累次极限的换序公式和换序准则178

12.5 多元函数的连续性179

12.6 多元向量值函数 场的概念181

12.7 向量值函数的极限 连续 曲面的参数方程182

12.8 向量值连续函数的性质184

第13章 多元函数的偏导数 微分185

13.1 偏导数的概念185

13.2 高阶偏导数185

13.3 多元函数的微分187

13.4 复合函数的求导法则 微分的形式不变性188

13.5 微分中值定理 Taylor公式191

第14章 向量值函数的微分 函数方程与隐函数193

14.1 二元向量值函数的偏导向量 微分193

14.2 n元向量值函数的偏导向量 微分195

14.3 开映射定理 局部逆映射定理198

14.4 逆映射存在的充分条件 逆映射的性质199

14.5 函数方程及其解函数概述202

14.6 隐函数的微分203

14.7 隐函数存在定理207

第15章 多元函数微分学的一些应用210

15.1 曲面的切平面和法向量 曲线的切线210

15.2 方向导数与梯度212

15.3 多元函数的最值 Fermat原理 极值213

15.4 条件最值 条件极值 Lagrange乘数法214

第16章 函数列的收敛性219

16.1 函数列的极限概念219

补充材料 用多项式一致逼近连续函数222

16.2 一致收敛性的判定224

16.3 极限函数的极限连续微分226

16.4 极限与定积分的换序 控制收敛定理227

16.5 极限与广义积分的换序 单调收敛定理229

第17章 函数项级数的一般理论 Taylor级数Fourier级数232

17.1 函数项级数的概念及其收敛性232

17.2 函数项级数的极限 连续 微分236

17.3 函数项级数的积分240

17.4 分式级数 函数项无穷乘积242

17.5 幂级数的一般性质243

17.6 Taylor级数246

17.7 Fourier级数249

补充材料 正交系的完备性 Parseval等式256

第18章 多元函数的偏极限与偏积分264

18.1 二元函数的偏极限264

18.2 狭义偏积分267

18.3 广义偏积分的收敛性269

18.4 广义偏积分的极限和连续性272

18.5 广义偏积分的微分274

18.6 “有限区间×无限区间”上累次积分的换序275

18.7 “无限区间×无限区间”上累次积分的换序276

18.8 Beta函数 Gamma函数280

18.9 Γ（s）的有限展开式283

18.10 Fourier变换正余项变换283

第19章 曲线积分286

19.1 第一型曲线积分286

19.2 第二型曲线积分291

补充材料 第二型曲线积分的分部积分法292

第20章 二重积分296

20.1 二重积分的概念和性质296

20.2 二重积分的计算298

20.3 平面区域面积的求法300

20.4 二重积分的变量替换302

20.5 Green公式306

20.6 积分与路径无关的条件 原函数问题307

20.7 曲面的面积308

第21章 曲面积分311

21.1 第一型曲面积分311

21.2 第二型曲面积分的概念313

21.3 第二型曲面积分的计算314

21.4 Stokes公式 空间曲线积分与路径无关的条件317

第22章 三重积分 多重积分319

22.1 三重积分的概念319

22.2 三重积分的计算320

22.3 三重积分的变量替换322

22.4 Gauss公式327

22.5 场论的基本概念329

22.6 n重积分332

补充材料 化重积分为累次积分的代数定限法333

22.7 广义重积分 广义曲面积分336

一些典型问题举例342

部分练习题的答案与提示368

参考文献392