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绪论1

第一篇 平面解析几何学8

第一章 基本公理8

1.有向线段及其与数的联系8

2.有理数的闭性与密性10

3.一一对应13

4.实数连续性公理15

5.无理数与无限小数18

6.实数概念小结21

7.实数的绝对值22

8.有向角及其与数的联系24

9.有向线段的射影26

附注（1）数学归纳法，（2）无穷多的一种特征，（3）无理数与无限连分数28

第二章 坐标与方程31

10.笛卡儿直角坐标系31

11.坐标轴的平移32

12.两点间的距离33

13.定比分点34

14.曲线与方程37

15.方向余弦与方向数42

16.矢径在有向直线上的射影46

17.极坐标47

第三章 直线与一次方程49

18.直线方程的法式49

19.直线的斜率50

20.二元一次方程51

21.直线方程通式与法式的沟通53

22.直线到点的垂直距离55

23.直线方程的参数式57

24.坐标变换，直线方程对坐标变换的不变性59

25.直线的极坐标方程62

26.两直线的交角64

27.必要与充分条件68

28.二元一次方程组69

29.行列式的特性72

30.三元一次方程组76

31.两直线的交点79

32.直线束81

33.三条直线的交点82

附注（1）直线段的参数式，（2）直线方程的两点式由行列式表达，（3）方程个数少于未知数个数时的情况，（4）四元一次方程组问题，（5）三条直线线性相关的条件85

第四章 圆锥曲线略论88

34.圆的一般方程88

35.椭圆及双曲线的方程89

36.椭圆及双曲线的准线94

37.圆锥曲线的极坐标方程97

38.圆及椭圆的参数方程98

39.一般二次方程的简化举例100

第二篇 一元函数的微积分学106

第五章 函数概念106

40.函数的定义106

41.隐函数与显函数108

42.函数作图109

43.最简单的几种函数113

44.复合函数115

45.反函数117

第六章 极限119

46.数列的极限119

47.数列发散的情况127

48.数列极限存在的情况129

49.数列极限存在的准则133

50.数列极限的有理运算138

51.数列极限存在与无穷小140

52.数列极限的简单应用举例141

53.函数f（x）在x→∞时的极限143

54.函数f（x）在x→ξ时的极限148

55.关于函数极限的几条定理151

56.函数极限不存在的情况154

57.无穷小的比较158

附注（1）数列极限定义的补充说明，（2）用聚点说明数列极限，（3）聚点存在定理，（4）审敛准则的证明，（5）柯西的普遍审敛准则，（6）柯西审敛准则在函数极限问题上的应用，（7）函数的极限归并到数列的极限159

第七章 连续函数166

58.函数在一点上及在区间内的连续性166

59.从连续函数产生连续函数169

60.连续函数的特性172

61.连续函数的反函数174

62.对数函数及指数函数178

附注（1）奇次代数方程有一实根的证明，（2）连续函数在闭区间内的一致连续，（3）关于指数函数的补充说明，（4）对数发明史上一些事实180

第八章 导数与微分186

63.曲线在一点上的斜率186

64.自然现象的瞬时变化率188

65.函数在一点上及在区间内的可导性190

66.函数的可导性与连续性194

67.可导函数的和、积、商197

68.可导函数的复合函数200

69.可导函数的反函数203

70.对数函数及指数函数的可导性209

71.双曲函数212

72.初等函数的求导问题215

73.罗尔定理218

74.拉格朗日定理222

75.微分226

76.高阶导数与高阶微分230

77.二阶导数与曲线凹向232

附注（1）导数存在与连续，（2）作图求导法，（3）无穷大的比较，（4）一个连续可导而各阶导数在一点上都等于零的函数，（5）上凹函数234

第九章 导数概念在函数研究中的应用239

78.极值的充分条件239

79.拉格朗日定理的推广243

80.极值问题举例247

81.不定式问题251

82.函数值的近似计算255

83.方程的近似解法259

84.函数作图问题262

85.从曲线的参数方程讨论曲线的特性267

86.从曲线的极坐标方程讨论曲线的特性272

附注（1）不定式∞/∞，（2）e为无理数的证明，（3）不能展开的函数，（4）函数展开的柯西余项式，（5）笛卡儿叶形线，（6）外摆线与内摆线278

第十章 定积分与不定积分286

87.面积问题286

88.定积分概念288

89.中值定理292

90.牛顿-莱布尼茨公式297

91.基本积分表303

92.积分的物理意义306

附注（1）作图求积分法，（2）再论对数函数及指数函数307

第十一章 积分法314

93.积分法要旨314

94.换元法315

95.分部积分法322

96.有理函数的积分326

97.三角及双曲函数的积分332

98.几种可以有理化的函数类型335

99.不能用初等函数表达的积分340

100.定积分的近似计算341

101.反常积分344

附注（1）泰勒定理的另一证明，（2）表达π的沃利斯乘积，（3）n！随n→∞趋大情况的讨论350

第十二章 微积分概念在几何学与物理学上的简单应用355

102.闭合曲线所围的面积355

103.弧长361

104.曲率367

105.质心373

106.转动惯量375

107.物理学中的一阶微分方程举例378

108.自由降落与简谐振动380

附注（1）渐屈线的一种特性，（2）两曲线的n阶接触，（3）牛顿引力的势能385

参考书目389