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第一章 函数、极限与连续1

第一节 函数1

一、集合、区间与邻域1

二、函数的概念2

三、函数的几种特性4

四、反函数与复合函数5

五、初等函数6

习题1-19

第二节 极限9

一、数列的极限10

二、函数的极限11

三、函数极限的性质12

习题1-213

第三节 极限的运算13

一、极限的运算法则13

二、复合函数的极限运算法则15

三、极限的夹逼准则15

四、两个重要极限16

习题1-317

第四节 无穷小与无穷大18

一、无穷小18

二、无穷大20

三、无穷小与无穷大的关系20

四、无穷小的比较20

习题1-421

第五节 函数的连续性与间断点22

一、函数的连续性22

二、函数的间断点24

习题1-525

第六节 初等函数的连续性26

一、连续函数的四则运算26

二、复合函数与反函数的连续性26

三、初等函数的连续性27

四、闭区间上连续函数的性质28

习题1-629

第二章 导数与微分30

第一节 导数的概念30

一、引例30

二、导数的定义31

三、求导数举例31

四、左、右导数33

五、导数的几何意义34

六、函数的可导性与连续性的关系34

习题2-134

第二节 函数的求导法则和基本公式35

一、函数求导的四则运算法则35

二、反函数的导数36

三、复合函数的求导法则37

习题2-239

第三节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数39

一、隐函数的导数39

二、由参数方程确定的函数的导数41

习题2-342

第四节 高阶导数42

一、高阶导数43

二、参数方程的二阶导数44

习题2-444

第五节 函数的微分及其应用45

一、微分的概念45

二、微分的几何意义46

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则47

四、微分在近似计算中的应用48

习题2-549

第三章 导数应用50

第一节 微分中值定理50

一、罗尔定理50

二、拉格朗日中值定理50

三、两个主要推论51

习题3-151

第二节 洛必达法则52

一、“0/0”型未定式52

二、“∞/∞”型未定式53

三、其他类型未定式53

习题3-255

第三节 函数单调性的判定法55

习题3-357

第四节 函数的极值与最值57

一、函数的极值57

二、函数的最值59

习题3-460

第五节 函数图形的描绘61

一、曲线的凹凸性与拐点61

二、曲线的渐近线63

三、函数图形的描绘64

习题3-565

第四章 不定积分67

第一节 不定积分的概念与性质67

一、原函数与不定积分的概念67

二、基本积分公式69

三、不定积分的性质70

习题4-171

第二节 不定积分的换元积分法73

一、第一类换元法（凑微分法）73

二、第二类换元法76

三、补充的积分公式78

习题4-279

第三节 不定积分的分部积分法81

习题4-384

第四节 简单有理函数的积分85

习题4-487

第五节 积分表的使用方法87

一、直接查表求积分87

二、先进行变量代换，再查表87

三、用递推公式88

习题4-588

第五章 定积分及其应用89

第一节 定积分的概念与性质89

一、定积分的实际背景89

二、定积分的概念91

三、定积分的几何意义92

四、定积分的性质92

习题5-194

第二节 微积分基本公式95

一、变上限的定积分95

二、牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式97

习题5-298

第三节 定积分的积分方法99

一、定积分的换元积分法100

二、定积分的分部积分法102

习题5-3103

第四节 广义积分105

一、无穷区间的广义积分105

二、无界函数的广义积分106

习题5-4108

第五节 定积分的几何应用108

一、定积分应用的微元法108

二、计算平面图形的面积109

三、计算立体的体积112

四、计算平面曲线的弧长114

习题5-5114

第六章 常微分方程116

第一节 微分方程的基本概念116

一、引例116

二、微分方程的基本概念117

习题6-1117

第二节 一阶微分方程118

一、可分离变量的一阶微分方程118

二、一阶线性微分方程119

习题6-2121

第三节 可降阶的高阶微分方程122

一、y(n)=f（x）型的微分方程122

二、y″=f（x，y′）型的微分方程122

三、y″=f（y，y′）型的微分方程123

习题6-3124

第四节 二阶常系数线性微分方程124

一、二阶常系数线性微分方程解的性质124

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法125

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法126

习题6-4128

第七章 空间解析几何与向量代数129

第一节 空间直角坐标系129

一、空间直角坐标系简介129

二、空间两点间的距离公式130

习题7-1131

第二节 向量及其线性运算131

一、向量的概念131

二、向量的加、减法132

三、数与向量的乘法133

习题7-2133

第三节 向量的坐标134

一、向量的坐标134

二、向量的线性运算的坐标表示134

三、向量的模与方向余弦135

习题7-3136

第四节 向量的数量积与向量积136

一、向量的数量积136

二、向量的向量积138

习题7-4139

第五节 平面及其方程140

一、平面的点法式方程140

二、平面的一般方程141

三、两平面的夹角及两平面平行与垂直的条件143

习题7-5144

第六节 空间直线及其方程145

一、直线的点向式方程145

二、直线的参数方程146

三、直线的一般方程146

四、两直线的夹角及两直线平行与垂直的条件147

习题7-6148

第七节 常见曲面的方程及图形149

一、曲面方程的概念149

二、母线平行于坐标轴的柱面方程150

三、旋转曲面151

四、常见的二次曲面及其方程151

习题7-7153

第八章 多元函数微积分154

第一节 多元函数的概念、极限与连续性154

一、多元函数的概念154

二、二元函数的极限155

三、二元函数的连续性156

习题8-1156

第二节 偏导数157

一、偏导数的概念及求法157

二、高阶偏导数158

习题8-2159

第三节 全微分159

一、全微分的概念159

二、全微分在近似计算中的应用160

习题8-3161

第四节 多元复合函数与隐函数微分法162

一、复合函数微分法162

二、隐函数的微分法164

习题8-4165

第五节 二元函数的极值165

一、二元函数的极值165

二、二元函数最大值与最小值166

三、条件极值167

习题8-5169

第六节 二重积分的概念与性质169

一、两个实例169

二、二重积分的定义170

三、二重积分的性质171

习题8-6171

第七节 二重积分的计算方法及其应用172

一、直角坐标系下二重积分的计算方法172

二、极坐标系下二重积分的计算方法174

三、计算立体的体积和曲面的面积176

四、计算平面薄片的质心177

五、计算平面薄片的转动惯量179

习题8-7179

第九章 无穷级数181

第一节 常数项级数的概念和性质181

一、常数项级数的概念181

二、常数项级数的基本性质和级数收敛的必要条件183

习题9-1185

第二节 常数项级数的审敛法185

一、正项级数及其审敛法185

二、交错级数及其审敛法189

三、绝对收敛与条件收敛189

习题9-2190

第三节 函数项级数与幂级数191

一、函数项级数191

二、幂级数及其收敛性192

三、幂级数的基本性质194

习题9-3195

第四节 函数展开成幂级数196

一、泰勒级数196

二、将函数展开成幂级数197

习题9-4201

第五节 幂级数展开式的应用201

一、值的近似计算202

二、求极限203

三、求不定积分203

四、微分方程的幂级数解法203

习题9-5203

附录一 积分表和常用数学公式205

一、积分表205

二、初等数学常用公式213

三、初等数学常见曲线215

附录二 习题答案222

第一章222

第二章224

第三章226

第四章228

第五章233

第六章234

第七章236

第八章239

第九章241

参考文献244