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第一章 数学模型概论1

1.1模型2

1.2数学模型2

1.3建立数学模型的一般方法6

习题6

第二章 数据处理7

2.1插值法7

2.1.1概述7

2.1.2拉格朗日插值8

2.1.3差商与牛顿插值公式12

2.1.4差分与等距节点插值公式15

2.1.5分段插值法18

2.1.6三次样条插值函数20

2.2数值微分24

2.2.1用差商近似微商25

2.2.2用插值函数计算微商26

2.2.3用三次样条函数求数值微分28

2.3数值积分31

2.3.1等距节点求积公式（Newton-Cotes公式）31

2.3.2求积公式的代数精度33

2.3.3复化求积公式34

2.3.4变步长求积方法37

2.3.5求积公式的误差38

2.3.6龙贝格（Romberg）积分法39

2.4最小二乘曲线拟合41

2.4.1关联函数的选择和线性化42

2.4.2线性最小二乘法44

2.4.3非线性最小二乘法58

习题61

第三章 代数方程（组）的数值解法66

3.1线性方程组的直接解法66

3.1.1高斯消去法66

3.1.2高斯主元素消去法69

3.1.3高斯-约当消去法及矩阵求逆71

3.1.4解三对角线方程组和三对角块方程组的追赶法72

3.1.5 LU分解76

3.1.6平方根法79

3.1.7病态方程组和病态矩阵80

3.2线性方程组的迭代解法82

3.2.1雅可比迭代法83

3.2.2高斯-赛德尔迭代法84

3.2.3基本迭代法的收敛性分析84

3.2.4松弛迭代法（SOR迭代法）87

3.3非线性方程求根89

3.3.1二分法90

3.3.2迭代法92

3.3.3威格斯坦（Wegstein）法96

3.3.4牛顿法97

3.3.5弦截法100

3.3.6抛物线法（Muller法）102

3.4非线性方程组数值解103

3.4.1高斯-雅可比迭代法103

3.4.2高斯-赛德尔迭代法104

3.4.3松弛迭代法105

3.4.4威格斯坦法106

3.4.5牛顿-拉夫森法106

习题109

第四章 常微分方程数值解112

4.1引言112

4.2初值问题113

4.2.1尤拉法（Euler Methods）113

4.2.2龙格-库塔法（Runge-KuttaMethods）121

4.2.3线性多步法127

4.2.4方法的比较134

4.2.5一阶联立方程组与高阶方程134

4.2.6刚性方程组136

4.3边值问题139

4.3.1打靶法139

4.3.2有限差分法143

习题149

第五章 拉普拉斯变换153

5.1定义和性质153

5.1.1定义153

5.1.2拉氏变换的存在条件153

5.1.3性质155

5.2拉氏逆变换求解方法162

5.2.1拉氏逆变换的复反演积分——梅林-傅立叶定理162

5.2.2用部分分式法求拉氏逆变换163

5.2.3海维塞德（Heaviside）展开式164

5.2.4卷积定理167

5.3拉氏变换的应用168

5.3.1求解常微分方程168

5.3.2求解线性差分方程174

5.3.3求解差分微分方程176

5.3.4求解积分方程178

习题179

第六章 场论初步182

6.1数量场和向量场182

6.1.1数量场182

6.1.2向量场182

6.2向量的导数183

6.2.1向量对于一个纯量的导数183

6.2.2向量的求导公式184

6.2.3向量的偏导数184

6.3数量场的梯度186

6.3.1数量场的等值面186

6.3.2方向导数186

6.3.3数量场的梯度187

6.3.4梯度的运算性质188

6.4向量场的散度190

6.4.1向量场的通量190

6.4.2向量场的散度191

6.4.3散度的运算性质193

6.4.4散度的应用——流体的连续性方程193

6.4.5散度定理194

6.5向量场的旋度195

6.5.1向量场的环量195

6.5.2向量场的旋度196

6.5.3旋度的运算性质199

6.5.4斯托克斯定理199

6.6梯度、散度、旋度在柱、球坐标系的表达式202

6.6.1球坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式202

6.6.2柱坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式204

6.7场论在化工中的应用205

6.7.1三种常用的向量场205

6.7.2流体运动方程210

6.7.3热传导方程211

习题212

第七章 偏微分方程与特殊函数216

7.1引言216

7.2二阶偏微分方程分类217

7.3典型方程的建立218

7.3.1波动方程218

7.3.2热传导方程221

7.3.3稳态方程224

7.4定解条件和定解问题225

7.4.1初始条件225

7.4.2边界条件225

7.4.3定解问题的提法228

7.5线性迭加原理228

7.6分离变量法229

7.7非齐次边界条件的处理237

7.8非齐次的泛定方程240

7.9特殊函数及其在分离变量法中的应用243

7.9.1贝塞尔方程及其解法243

7.9.2贝塞尔函数249

7.9.3贝塞尔函数化工应用实例255

7.9.4勒让德方程及其解法260

7.9.5勒让德多项式263

7.9.6勒让德函数化工应用实例266

7.10拉普拉斯变换法269

习题272

第八章 偏微分方程数值解280

8.1抛物型方程的差分解法280

8.1.1显式格式281

8.1.2隐式格式282

8.1.3六点格式（Crank-Nicolson法）283

8.1.4边界条件287

8.1.5联立方程组288

8.1.6高阶近似法294

8.2双曲型方程差分格式297

8.3椭圆型方程的差分解法298

8.3.1五点差分格式298

8.3.2边界条件的处理299

8.3.3不规则边界条件304

习题305

第九章 概率论与数理统计308

9.1概率论基础308

9.1.1随机事件及其概率308

9.1.2随机变量及分布函数309

9.1.3随机变量的数字特征317

9.1.4化工过程应用实例322

9.2统计基础325

9.2.1总体和样本326

9.2.2样本的数字特征326

9.2.3统计量327

9.3大数定律及中心极限定理330

9.3.1切比雪夫不等式330

9.3.2大数定律331

9.3.3中心极限定理332

9.4参数估计333

9.4.1数学期望与方差的点估计333

9.4.2估计量的评选标准335

9.4.3参数的区间估计336

9.5假设检验340

9.5.1单尾检验与双尾检验341

9.5.2关于平均值的检验342

9.5.3两个平均值差别的检验344

9.5.4关于方差σ2的检验346

9.5.5比较两个总体的方差347

习题348

第十章 数据校正技术351

10.1绪论351

10.1.1化工过程数据校正的意义及其应用范围351

10.1.2数据校正技术的发展与近况351

10.1.3预备知识352

10.2稳态过程的数据校正358

10.2.1稳态过程的数学模型358

10.2.2线性问题求解358

10.2.3化工过程数据的分类368

第十一章 图论372

11.1图的基本概念372

11.2图的矩阵表示374

11.2.1关联矩阵375

11.2.2邻接矩阵375

11.3赋权图与赋权图中的最短路径375

11.4树377

11.5图的运算380

11.6有向图382

习题384

第十二章 人工智能与专家系统385

12.1基本概念385

12.1.1人工智能385

12.1.2知识386

12.1.3专家系统386

12.2知识的表示387

12.2.1产生式系统的基本结构387

12.2.2问题求解过程388

12.2.3对产生式系统的应用与评价391

12.3知识推理技术391

12.3.1深度优先搜索法392

12.3.2广度优先搜索法392

12.3.3最佳优先搜索392

附录1 Г函数394

附录2拉普拉斯变换表397

附录3向量和矩阵的范数400

附录4概率函数分布表403

参考文献412