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第1篇　计算方法1

1　绪论1

1．1　计算方法的对象与特点1

1．2　误差的来源及误差的基本概念1

1．2．1　误差的来源1

1．2．2　绝对误差与绝对误差限2

1．2．3　相对误差与相对误差限2

1．2．4　有效数字3

1．2．5　数据误差的影响4

1．3　机器数系6

1．3．1　数的浮点表示6

1．3．2　机器数系7

1．3．3　机器数的相对误差限8

1．4　误差危害的防止9

1．4．1　使用数值稳定的计算公式9

1．4．2　尽量避免两相近数相减11

1．4．3　尽量避免用绝对值很大的数作乘数12

1．4．4　防止大数“吃掉”小数12

1．4．5　注意简化计算步骤，减少运算次数13

小结15

复习思考题15

习题115

2　方程求根17

2．1　问题的提出17

2．2　二分法18

2．3　迭代法20

2．3．1　迭代格式的构造及其敛散性条件20

2．3．2　迭代法的局部收敛性26

2．3．3　迭代法的收敛速度27

2．3．4　埃特金加速法29

2．4　牛顿法与割线法31

2．4．1　牛顿迭代公式31

2．4．2　局部收敛性32

2．4．3　大范围收敛性34

2．4．4　割线法35

2．5　代数方程求根的劈因子法36

2．6　应用实例：任一平面与螺旋线全部交点的计算40

2．6．1　数学模型40

2．6．2　关于交点个数的讨论41

2．6．3　根的求法44

2．6．4　根的个数趋于无穷时的“实时”求交点方法45

小结47

复习思考题47

习题247

3　线性方程组数值解法50

3．1　问题的提出50

3．2　消去法51

3．2．1　三角方程组的解法51

3．2．2　高斯消去法52

3．2．3　追赶法56

3．2．4　列主元高斯消去法57

3．3　矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用59

3．3．1　矩阵分解的紧凑格式59

3．3．2　改进平方根法65

3．3．3　列主元三角分解法66

3．4　向量范数和矩阵范数68

3．4．1　向量范数68

3．4．2　矩阵范数69

3．5　迭代法71

3．5．1　迭代法及其收敛性71

3．5．2　雅可比迭代法75

3．5．3　高斯-赛德尔迭代法78

小结80

复习思考题81

习题381

4　插值法85

4．1　问题的提出85

4．1．1　插值函数的概念85

4．1．2　插值多项式的存在唯一性86

4．2　拉格朗日插值多项式87

4．2．1　基本插值多项式87

4．2．2　拉格朗日插值多项式88

4．2．3　插值余项89

4．2．4　一类带导数插值条件的插值92

4．3　差商、差分和牛顿插值多项式94

4．3．1　差商及牛顿插值多项式95

4．3．2　差分及等距节点插值公式99

4．4　高次插值的缺点及分段插值101

4．4．1　高次插值的误差分析101

4．4．2　分段线性插值103

4．4．3　分段二次插值104

4．5　样条插值函数105

4．5．1　三次样条插值函数106

4．5．2　三次样条插值函数的求法107

4．6　应用实例：丙烷导热系数的计算111

小结113

复习思考题114

习题4114

5　曲线拟合116

5．1　最小二乘原理116

5．2　超定方程组的最小二乘解122

5．3　应用实例：价格、广告与赢利124

小结127

复习思考题127

习题5127

6　数值积分与数值微分129

6．1　数值积分问题的提出129

6．2　插值型求积公式130

6．2．1　插值型求积公式130

6．2．2　梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式131

6．2．3　插值型求积公式的截断误差与代数精度132

6．2．4　梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的截断误差135

6．3　复化求积公式136

6．3．1　复化梯形公式136

6．3．2　复化辛卜生公式137

6．3．3　复化柯特斯公式139

6．3．4　复化求积公式的阶140

6．3．5　步长的自动选择140

6．4　龙贝格求积公式141

6．5　高斯求积公式简介146

6．6　重积分的计算149

6．7　数值微分153

6．7．1　数值微分问题的提出153

6．7．2　插值型求导公式及截断误差154

6．8　应用实例：椭圆轨道长度的计算157

小结159

复习思考题159

习题6160

7　常微分方程数值解法162

7．1　问题的提出162

7．2　欧拉方法162

7．2．1　欧拉公式162

7．2．2　梯形公式165

7．2．3　改进欧拉公式166

7．2．4　整体截断误差168

7．3　龙格-库塔方法169

7．3．1　龙格-库塔方法的基本思想169

7．3．2　二阶龙格-库塔公式170

7．3．3　高阶龙格-库塔公式171

7．4　线性多步法175

7．4．1　阿当姆斯内插公式176

7．4．2　阿当姆斯外推公式177

7．4．3　阿当姆斯预测校正公式178

7．5　一阶方程组与高阶方程180

7．5．1　一阶方程组180

7．5．2　化高阶方程为一阶方程组181

7．6　应用实例：摆球振动183

小结186

复习思考题186

习题7186

8　矩阵的特征值及特征向量的计算189

8．1　问题的提出189

8．2　按模最大与最小特征值的求法190

8．2．1　幂法190

8．2．2　反幂法196

8．3　计算实对称矩阵特征值的雅可比法197

8．4　QR方法206

8．4．1　矩阵A的QR分解206

8．4．2　QR算法209

小结210

复习思考题211

习题8211

第2篇　计算实习213

1　舍入误差与数值稳定性213

1．1　目的与要求213

1．2　舍入误差和数值稳定性213

1．2．1　概要213

1．2．2　程序和实例213

实习题1217

2　方程求根218

2．1　目的与要求218

2．2　二分法218

2．2．1　算法218

2．2．2　程序与实例218

2．3　牛顿迭代法221

2．3．1　算法221

2．3．2　程序与实例221

实习题2225

3　线性方程组数值解法226

3．1　目的与要求226

3．2　列主元高斯消去法226

3．2．1　算法226

3．2．2　程序与实例226

3．3　矩阵直接三角分解法229

3．3．1　算法229

3．3．2　程序与实例230

3．4　迭代法232

3．4．1　雅可比迭代法232

3．4．2　高斯-赛德尔迭代法235

实习题3238

4　插值法241

4．1　目的与要求241

4．2　拉格朗日插值多项式241

4．2．1　算法241

4．2．2　程序与实例241

4．3　牛顿插值多项式243

4．3．1　算法243

4．3．2　程序与实例243

实习题4245

5　曲线拟合246

5．1　目的与要求246

5．2　最小二乘法246

5．2．1　算法246

5．2．2　程序与实例246

实习题5250

6　数值积分251

6．1　目的与要求251

6．2　复化梯形公式与复化辛卜生公式的自适应算法251

6．2．1　复化辛卜生公式251

6．2．2　自适应梯形公式254

6．3　龙贝格算法256

6．3．1　算法256

6．3．2　程序与实例257

实习题6259

7　常微分方程数值解法260

7．1　目的与要求260

7．2　改进欧拉方法260

7．2．1　算法概要260

7．2．2　程序与实例261

7．3　龙格-库塔方法263

7．3．1　算法概要263

7．3．2　程序与实例263

7．4　阿当姆斯方法265

7．4．1　算法概要265

7．4．2　程序与实例266

实习题7269

8　矩阵的特征值与特征向量的计算270

8．1　目的与要求270

8．2　幂法270

8．2．1　算法概要270

8．2．2　程序与实例270

实习题8273

实习题参考答案274

参考文献278