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第1章 绪论1

1.1 计算方法的研究内容与意义1

1.2 误差1

1.2.1 误差的主要来源1

1.2.2 误差的基本概念2

1.3 数值方法的稳定性与算法设计原则4

习题16

第2章 非线性方程的数值解法8

2.1 根的隔离8

2.1.1 试值法8

2.1.2 作图法9

2.1.3 扫描法9

2.2 根的精确化9

2.2.1 对分法9

2.2.2 迭代法10

2.2.3 牛顿法14

2.2.4 弦割法16

习题218

第3章 线性代数计算方法19

3.1 高斯消去法19

3.1.1 三角形方程组的解法19

3.1.2 高斯消去法20

3.1.3 主元素消去法23

3.1.4 用列主元高斯消去法求行列式值26

3.2 高斯－约当消去法26

3.2.1 高斯－约当消去法的计算26

3.2.2 逆矩阵的计算28

3.3 矩阵的LU分解30

3.3.1 高斯消去法与矩阵的LU分解30

3.3.2 直接LU分解31

3.4 追赶法35

3.5 迭代法38

3.5.1 向量范数和矩阵范数38

3.5.2 迭代法的一般形式41

3.5.3 雅可比迭代法41

3.5.4 高斯－塞德尔迭代法44

3.5.5 迭代法的收敛性46

3.5.6 逐次超松弛迭代法50

3.6 矩阵的特征值与特征向量的计算方法51

3.6.1 乘幂法52

3.6.2 原点位移法55

3.6.3 反幂法56

习题358

第4章 插值与拟合61

4.1 插值法概述61

4.1.1 插值法基本概念61

4.1.2 代数插值多项式的存在唯一性61

4.2 线性插值与二次插值62

4.2.1 线性插值62

4.2.2 二次插值63

4.3 拉格朗日插值多项式64

4.3.1 拉格朗日插值多项式的定义64

4.3.2 插值多项式的余项66

4.4 均差与牛顿基本插值公式67

4.4.1 均差、均差表及均差性质67

4.4.2 牛顿基本插值公式70

4.4.3 均差插值多项式的余项72

4.5 差分与等距节点插值公式72

4.5.1 差分与差分表72

4.5.2 等距节点插值公式74

4.6 分段低次插值76

4.6.1 高次插值的缺陷76

4.6.2 分段线性插值77

4.6.3 分段埃尔米特插值78

4.7 三次样条插值80

4.7.1 三次样条插值的定义81

4.7.2 用节点处的二阶导数值表示的三次样条函数81

4.8 最小二乘法与曲线拟合84

4.8.1 最小二乘法85

4.8.2 多项式拟合87

4.8.3 幂函数型、指数函数型经验公式90

习题492

第5章 数值微积分95

5.1 牛顿－柯特斯公式95

5.1.1 牛顿－柯特斯公式的推导95

5.1.2 低阶牛顿－柯特斯公式的误差分析98

5.1.3 牛顿－柯特斯公式的稳定性99

5.2 复合求积公式100

5.2.1 复合牛顿－柯特斯公式100

5.2.2 复合求积公式的余项101

5.3 变步长求积公式103

5.3.1 变步长求积公式的推导103

5.3.2 变步长梯形公式算法104

5.4 龙贝格求积公式105

5.5 数值微分109

5.5.1 插值型求导公式109

5.5.2 样条求导公式111

习题5112

第6章 常微分方程初值问题的数值解法114

6.1 欧拉方法114

6.1.1 欧拉方法的推导114

6.1.2 改进的欧拉方法115

6.1.3 局部截断误差和方法的阶116

6.2 龙格－库塔方法118

6.2.1 龙格－库塔方法的基本思想和一般形式118

6.2.2 二阶龙格－库塔方法118

6.2.3 四阶龙格－库塔方法120

6.2.4 变步长的四阶龙格－库塔方法121

6.3 线性多步法122

6.3.1 线性多步法的计算公式122

6.3.2 阿达姆斯方法122

6.4 一阶常微分方程组和高阶常微分方程的数值解法125

6.4.1 一阶常微分方程组的数值解法125

6.4.2 高阶常微分方程的数值解法126

习题6127

第7章 算法的程序实现129

7.1 秦九韶算法和对分法129

7.2 牛顿法和弦割法134

7.3 线性方程组的直接法136

7.4 线性方程组的迭代法143

7.5 拉格朗日插值和牛顿基本插值147

7.6 曲线拟合152

7.7 数值积分156

7.8 常微分方程初值问题的数值解法162

参考文献165