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第1章 向量代数1

1.1 向量及其线性运算1

1.1.1 向量及其相关概念1

1.1.2 向量的线性运算2

1.1.3 共线向量、共面向量4

习题1.16

1.2 仿射坐标系与空间直角坐标系7

1.2.1 仿射坐标系7

1.2.2 空间直角坐标系9

1.2.3 用坐标进行向量的线性运算10

1.2.4 向量共线、共面的条件12

1.2.5 定比分点的坐标12

习题1.213

1.3 向量的数量积14

1.3.1 数量积及其运算规律14

1.3.2 数量积的应用15

1.3.3 向量的投影16

习题1.318

1.4 向量的向量积19

1.4.1 向量积及其运算规律19

1.4.2 向量积的坐标表示20

1.4.3 向量积的应用21

习题1.422

1.5 混合积与复合积22

1.5.1 向量的混合积22

1.5.2 复合积24

习题1.525

复习题一26

第2章 平面与直线27

2.1 平面方程27

2.1.1 由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程27

2.1.2 平面的一般方程29

2.1.3 平面的法式方程30

习题2.131

2.2 空间直线的方程32

2.2.1 由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程32

2.2.2 直线的一般方程34

习题2.235

2.3 点、平面、直线之间的关系35

2.3.1 平面与点的相关位置35

2.3.2 两平面的相关位置37

2.3.3 直线与平面的相关位置37

2.3.4 空间两直线的相关位置39

2.3.5 空间直线与点的相关位置41

习题2.341

2.4 平面束42

习题2.444

复习题二44

第3章 常见曲面47

3.1 空间曲面与曲线的方程47

习题3.149

3.2 柱面49

3.2.1 柱面的定义49

3.2.2 柱面的方程49

3.2.3 空间曲线的射影柱面51

习题3.252

3.3 锥面52

3.3.1 锥面的定义52

3.3.2 锥面的方程53

习题3.355

3.4 旋转曲面55

3.4.1 旋转曲面的定义55

3.4.2 旋转曲面的方程56

习题3.459

3.5 椭球面60

3.5.1 讨论二次曲面的基本方法60

3.5.2 椭球面的定义60

3.5.3 椭球面的形状和简单性质61

习题3.562

3.6 双曲面63

3.6.1 单叶双曲面的定义63

3.6.2 单叶双曲面的形状和性质63

3.6.3 双叶双曲线的定义65

3.6.4 双叶双曲面的形状和性质65

3.6.5 双曲面的渐近锥面67

习题3.668

3.7 抛物面68

3.7.1 椭圆抛物面的定义68

3.7.2 椭圆抛物面的形状和性质69

3.7.3 双曲抛物面的定义70

3.7.4 双曲抛物面的形状和性质70

3.7.5 一般二次方程的化简71

习题3.773

3.8 直纹二次曲面73

3.8.1 直纹曲面的定义73

3.8.2 单叶双曲面的直纹性74

3.8.3 双曲抛物面的直纹性76

3.8.4 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线性质76

习题3.877

复习题三78

第4章 仿射坐标与仿射平面80

4.1 透视仿射与仿射对应80

4.1.1 直线间的仿射对应80

4.1.2 平面间的仿射对应80

4.1.3 共线三点的单比81

4.1.4 仿射不变性与不变量81

习题4.182

4.2 仿射坐标系82

4.2.1 仿射坐标系82

4.2.2 仿射变换的代数表示83

4.2.3 特殊的仿射变换86

习题4.288

复习题四88

第5章 射影平面90

5.1 中心射影与无穷远元素90

5.1.1 中心射影90

5.1.2 无穷远元素90

习题5.192

5.2 图形的射影性质，德萨格定理93

5.2.1 射影性质93

5.2.2 德萨格定理93

习题5.294

5.3 齐次坐标95

5.3.1 点的齐次坐标95

5.3.2 直线方程95

5.3.3 齐次线坐标96

习题5.397

5.4 对偶原理98

习题5.4100

5.5 复元素101

5.5.1 二维空间的复元素101

5.5.2 共轭复元素101

5.5.3 几个结论101

习题5.5102

复习题五102

第6章 射影变换与射影坐标103

6.1 交比103

6.1.1 点列中四点的交比103

6.1.2 线束中四直线的交比106

习题6.1110

6.2 完全四点形与完全四线形的调和性110

6.2.1 关于调和性的几个命题110

6.2.2 调和性应用举例111

习题6.2112

6.3 一维基本形的射影对应112

6.3.1 一维基本形的透视对应112

6.3.2 一维基本形的射影对应113

6.3.3 一维基本形的射影变换115

习题6.3116

6.4 一维射影坐标117

6.4.1 直线上的射影坐标系117

6.4.2 一维射影对应的代数表示119

6.4.3 一维射影变换的分类121

习题6.4122

6.5 二维射影变换与二维射影坐标123

6.5.1 二维射影变换123

6.5.2 二维射影坐标123

6.5.3 二维射影对应的坐标表示125

习题6.5127

复习题六128

第7章 变换群与几何学130

7.1 变换群130

7.1.1 群与变换群的概念130

7.1.2 平面上几个重要的变换群131

习题7.1134

7.2 变换群与几何学134

7.2.1 Klein的变换群观点134

7.2.2 射影、仿射和欧氏三种几何学的比较135

习题7.2136

复习题七136

第8章 二次曲线的射影理论与仿射理论138

8.1 二次曲线的射影定义138

8.1.1 二次曲线的射影定义138

8.1.2 二阶曲线的切线与二级曲线的切点141

8.1.3 二阶曲线与二级曲线的关系143

习题8.1145

8.2 Pascal定理和Brianchon定理145

8.2.1 帕斯卡（Pascal）定理和布列安桑（Brianchon）定理145

8.2.2 帕斯卡（Pascal）定理的极限形式147

习题8.2149

8.3 极点与极线，配极原则149

8.3.1 极点与极线149

8.3.2 配极原则151

8.3.3 配极变换152

习题8.3153

8.4 二次曲线的射影分类153

8.4.1 二阶曲线的奇异点153

8.4.2 二阶曲线的射影分类154

习题8.4156

8.5 二次曲线的仿射理论156

8.5.1 二阶曲线与无穷远直线的相关位置156

8.5.2 二阶曲线的中心157

8.5.3 直径与共轭直径157

习题8.5162

8.6 二次曲线的仿射分类162

8.6.1 当det（aij）≠0时，即（aij）的秩是3163

8.6.2 det（aij）=0，秩（aij）=2，二阶曲线为退化的二阶曲线，且只有一个奇异点163

8.6.3 当秩（aij）=1时，二次曲线是退化的，且有无穷多奇异点在一直线上164

习题8.6166

复习题八166

参考文献168