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第一章 函数与极限1

1-1 函数1

1-1.1 函数的概念1

1-1.2 分段函数、反函数、复合函数3

1-1.3 初等函数5

1-2 函数的极限7

1-2.1 数列的极限7

1-2.2 函数的极限9

1-2.3 无穷小量与无穷大量12

1-2.4 函数极限的运算13

1-3 极限存在定理与两个重要极限16

1-3.1 极限存在定理16

1-3.2 两个重要极限16

1-4 函数的连续性18

1-4.1 函数的增量18

1-4.2 函数的连续与间断19

1-4.3 初等函数的连续性21

习题一22

第二章 导数与微分26

2-1 导数的概念26

2-1.1 导数的定义26

2-1.2 函数连续性与可导性的关系29

2-1.3 几个基本初等函数的导数29

2-2 求导法则31

2-2.1 导数的四则运算法则31

2-2.2 反函数的求导法则33

2-2.3 复合函数的求导法则35

2-2.4 隐函数的求导法则37

2-2.5 由参数方程所确定的函数的求导法则39

2-2.6 高阶导数40

2-3 微分概念41

2-3.1 微分的定义及几何意义41

2-3.2 微分的求法、微分形式不变性42

2-4 微分的应用43

2-4.1 近似计算43

2-4.2 误差估计45

习题二46

第三章 导数的应用49

3-1 中值定理49

3-2 洛必达法则52

3-2.1 两个无穷小量之比的极限52

3-2.2 两个无穷大量之比的极限52

3-2.3 其他未定型极限的求法53

3-3 函数性态的研究53

3-3.1 函数的增减性和极值54

3-3.2 曲线的凹凸与拐点57

3-3.3 曲线的渐近线59

3-3.4 函数图形的描绘61

习题三63

第四章 不定积分66

4-1 不定积分的概念与性质66

4-1.1 原函数66

4-1.2 不定积分的概念66

4-1.3 不定积分的几何意义67

4-1.4 不定积分的简单性质67

4-2 不定积分的基本公式68

4-2.1 基本公式68

4-2.2 直接积分法69

4-3 两种积分法70

4-3.1 换元积分法70

4-3.2 分部积分法77

4-4 有理函数与三角函数有理式的积分81

4-4.1 有理函数的积分81

4-4.2 三角函数有理式的积分83

习题四85

第五章 定积分及其应用88

5-1 定积分的概念88

5-1.1 两个实际问题88

5-1.2 定积分的概念89

5-2 定积分的简单性质91

5-3 定积分的计算93

5-3.1 牛顿－莱布尼茨公式93

5-3.2 定积分的换元积分法和分部积分法94

5-4 定积分的应用96

5-4.1 平面图形的面积97

5-4.2 旋转体的体积99

5-4.3 平面曲线的弧长100

5-4.4 函数在区间上的平均值102

5-4.5 变力所做的功102

5-4.6 液体的静压力104

5-5 广义积分和Γ函数105

5-5.1 广义积分105

5-5.2 Γ函数107

习题五108

第六章 空间解析几何111

6-1 空间直角坐标系111

6-1.1 空间直角坐标系111

6-1.2 空间两点间的距离112

6-2 向量代数113

6-2.1 向量及其坐标表示113

6-2.2 向量的数量积117

6-2.3 向量的向量积118

6-3 空间的平面与直线120

6-3.1 空间平面及其方程120

6-3.2 空间直线及其方程123

6-4 空间的曲面与曲线126

6-4.1 空间曲面及其方程126

6-4.2 二次曲面126

6-4.3 空间曲线及其方程131

习题六132

第七章 多元函数微分学135

7-1 多元函数的概念135

7-1.1 多元函数的概念135

7-1.2 二元函数的极限137

7-1.3 二元函数的连续性138

7-2 多元函数的偏导数139

7-2.1 偏导数的概念与计算139

7-2.2 偏导数的几何意义141

7-2.3 偏导数与连续的关系141

7-2.4 高阶偏导数141

7-3 多元函数的全微分及其应用143

7-3.1 全增量与全微分的概念143

7-3.2 全微分在近似计算上的应用144

7-4 多元复合函数与隐函数的微分法145

7-4.1 连锁法则145

7-4.2 隐函数的微分法148

7-4.3 全微分形式不变性149

7-5 多元函数的极值150

7-5.1 多元函数的极值150

7-5.2 多元函数的最值152

7-5.3 多元函数的条件极值153

习题七155

第八章 多元函数积分学158

8-1 二重积分的概念及简单性质158

8-1.1 二重积分的概念158

8-1.2 二重积分的简单性质160

8-2 二重积分的计算161

8-2.1 直角坐标系中二重积分的计算方法161

8-2.2 利用极坐标计算二重积分167

8-3 对弧长的曲线积分171

8-3.1 对弧长的曲线积分的概念及其简单性质171

8-3.2 对弧长的曲线积分的计算172

8-4 对坐标的曲线积分174

8-4.1 对坐标的曲线积分的概念及简单性质174

8-4.2 对坐标的曲线积分的计算176

8-5 格林公式及其应用179

8-5.1 格林公式179

8-5.2 曲线积分与路径无关的条件182

习题八185

第九章 微分方程188

9-1 基本概念188

9-1.1 实例188

9-1.2 微分方程及其阶189

9-1.3 微分方程的解189

9-2 可分离变量的微分方程190

9-3 一阶线性微分方程194

9-4 可降价的二阶微分方程198

9-4.1 y″=f（x）型的二阶微分方程199

9-4.2 y″=f（x，y′）型的二阶微分方程199

9-4.3 y″=f（y，y′）型的二阶微分方程200

9-5 二阶常系数线性微分方程201

9-5.1 二阶线性微分方程的解的结构201

9-5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法203

9-5.3 二阶常系数线性非齐次方程的解法206

9-6 拉普拉斯变换208

9-6.1 拉普拉斯变换的基本概念209

9-6.2 拉氏变换的基本性质211

9-6.3 拉氏逆变换212

9-6.4 利用拉氏变换解微分方程的初值问题214

习题九217

第十章 无穷级数220

10-1 常数项级数的概念及性质220

10-1.1 常数项级数的概念220

10-1.2 无穷级数的基本性质221

10-2 常数项级数的敛散性224

10-2.1 正项级数及其审敛法224

10-2.2 任意项级数228

10-2.3 交错级数及其审敛法229

10-3 幂级数230

10-3.1 函数项级数的概念230

10-3.2 幂级数及其收敛性231

10-3.3 幂级数的运算234

10-4 函数的幂级数展开及其应用235

10-4.1 泰勒公式与泰勒级数235

10-4.2 函数的幂级数展开237

10-4.3 函数展成幂级数的应用239

10-5 傅里叶级数243

10-5.1 三角级数244

10-5.2 三角函数系的正交性244

10-5.3 函数展开成傅里叶级数245

习题十251

习题答案253