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第一部分 线性代数2

第1章 行列式2

1.1 行列式的标志2

1.2 行列式的本质2

1.3 行列式的基本计算方法3

1.3.1 特殊行列式的计算3

1.3.2 一般行列式的计算5

1.4 行列式的五条性质7

1.5 克拉默法则10

1.6 矩阵12

1.7 矩阵的运算13

1.7.1 矩阵与矩阵相加13

1.7.2 数字与矩阵相乘13

1.7.3 矩阵与矩阵相乘13

1.8 矩阵的转置15

1.9 方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵16

1.9.1 方阵16

1.9.2 对角矩阵16

1.9.3 单位矩阵16

1.9.4 逆矩阵16

1.10 矩阵的向量表示法17

1.11 关于代数余子式的三句话18

1.11.1 第一句话18

1.11.2 第二句话18

1.11.3 第三句话19

1.12 克拉默法则的推论20

1.12.1 第一个充分必要条件21

1.12.2 第二个充分必要条件22

1.12.3 第三个充分必要条件22

1.12.4 第四个充分必要条件22

1.13 关于行列式的两种计算题25

1.13.1 抽象行列式的计算25

1.13.2 具体行列式的计算26

1.14 贯穿考研试题的思维定式37

第2章 矩阵39

2.1 矩阵的初等变换39

2.2 初等矩阵39

2.3 矩阵的秩40

2.3.1 矩阵子式的定义40

2.3.2 矩阵秩的定义42

2.3.3 利用初等行变换来求矩阵的秩42

2.4 第一个大总结46

2.5 第二个大总结47

2.6 矩阵乘法的两条定律49

2.6.1 . 矩阵乘法满足结合律49

2.6.2 矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律49

2.7 可交换的矩阵相乘特例49

2.8 关于矩阵转置的四个公式49

2.9 关于矩阵可逆的六个公式50

2.10 可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵秩之间的关系及等价矩阵53

2.10.1 可逆矩阵与初等矩阵的关系53

2.10.2 初等矩阵与初等变换的关系53

2.10.3 初等变换与矩阵的秩的关系54

2.10.4 初等矩阵的逆矩阵55

2.10.5 等价矩阵56

2.11 分块矩阵及一些知识点的深化57

2.11.1 分块矩阵57

2.11.2 反对称矩阵57

2.11.3 求一个矩阵的逆矩阵58

2.11.4 特殊分块矩阵的逆矩阵61

2.11.5 求一个矩阵的若干次幂63

第3章 向量67

3.1 向量与向量组的基本概念67

3.2 线性表出的概念67

3.3 线性相关与线性无关的概念68

3.4 最大无关组69

3.5 “向量组的秩”的概念69

3.6 “向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系69

3.7 线性表出的推广70

3.8 等价向量组71

3.9 关于线性相／无关要记的几个结论71

3.10 方程组的求解72

3.10.1 求齐次方程组的通解73

3.10.2 求非齐次方程组的通解77

3.11 五个重要的定理80

3.11.1 定理180

3.11.2 定理281

3.11.3 定理381

3.11.4 定理484

3.11.5 定理585

3.11.6 真题分析85

3.12 线性表出的本质87

3.13 初等行变换前后相应的列向量组的线性相关性87

3.14 与秩有关的八个公式89

3.15 向量空间91

3.15.1 向量空间，基，维数，坐标91

3.15.2 基变换公式92

3.15.3 正交向量，正交矩阵，正交化94

3.16 线性相／无关的证明题99

3.16.1 方法199

3.16.2 方法299

第4章 解线性方程组102

4.1 求两个方程组的公共解102

4.2 同解方程组的证明104

4.2.1 方法1104

4.2.2 方法2105

4.3 已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组107

4.4.线性方程组解的性质107

4.5 由方程组中参数的取值判断解的类型110

4.6 已知方程组解的类型，求方程组中的参数113

第5章 特征值、特征向量、相似矩阵115

5.1 特征值、特征向量的基本概念115

5.2 特征值、特征向量的计算方法115

5.3 对称矩阵、正交矩阵的复习118

5.4 矩阵有多少个特征值为零119

5.5 相似矩阵120

5.6 对角化120

5.7 合同矩阵120

5.8 证明两个矩阵有相同的特征值121

5.9 几个需要记住的结论122

5.9.1 结论1122

5.9.2 结论2122

5.9.3 结论3122

5.9.4 结论4123

5.10 与特征向量有关的证明题通常会用到反证法123

5.11 由A的特征值、特征向量推A的多项式的特征值、特征向量124

5.12 怎样的方阵可以对角化125

5.13 若方阵可以对角化，及P怎么求128

5.14 关于相似矩阵的五个小结论132

5.15 实对称阵的两个来自不同特征值的特征向量必正交132

5.16 实对称阵一定可以相似于对角矩阵133

5.17 实对称阵一定可以合同于对角矩阵138

第6章 二次型141

6.1 二次型的定义141

6.2 二次型的对应矩阵141

6.3 利用矩阵乘法来表示二次型142

6.4 标准形143

6.5 规范形143

6.6 化二次型为标准形143

6.7 合同二次型144

6.8 正定二次型、正定矩阵144

6.9 用正交变换法化二次型为标准形144

6.10 用配方法化二次型为标准形148

6.11 两个对称矩阵合同的充分必要条件150

6.12 正定二次型、正定矩阵的证明方法151

6.12.1 正定矩阵的证明方法151

6.12.2 正定二次型的证明方法154

第二部分 高等数学156

第1章 极限与连续156

1.1 极限长什么样156

1.2 极限的计算方法156

1.2.1 函数的极限的计算方法156

1.2.2 数列的极限的计算方法206

1.3 三个小技巧225

1.3.1 第一个小技巧225

1.3.2 第二个小技巧226

1.3.3 第三个小技巧229

1.4 极限的定义230

1.4.1 数列的极限的定义231

1.4.2 趋于无穷大时函数的极限的定义233

1.4.3 趋于定点时函数的极限的定义234

1.5 函数的连续性与间断点236

1.5.1 函数的连续性236

1.5.2 函数的间断点243

1.6 无穷小、同阶无穷小、等阶无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小247

1.6.1 无穷小247

1.6.2 同阶无穷小247

1.6.3 等价无穷小248

1.6.4 高阶无穷小248

1.6.5 低阶无穷小250

1.6.6 k阶无穷小250

1.7 两个常用的结论250

1.8 函数的极限存在性252

1.8.1 函数和差的极限存在性252

1.8.2 函数乘积的极限存在性253

1.9 已知一极限求另外一极限254

1.10 求以数列极限的形式给出来的函数f（x）的表达式260

1.11 函数极限的保号性267

1.11.1 趋于无穷型的函数极限的保号性267

1.11.2 趋于无穷型的函数极限的保号性的推论268

1.11.3 趋于定点型的函数极限的保号性269

1.11.4 趋于定点型的函数极限的保号性的推论269

1.12 函数极限与数列极限的相互转化271

1.12.1 函数极限转化为数列极限271

1.12.2 数列极限转化为函数极限274

第2章 导数与微分277

2.1 可导的定义277

2.1.1 函数在某一点处可导的定义277

2.1.2 函数在某一点处左／右可导的定义282

2.1.3 函数在某区间可导的定义294

2.2 常用的导数公式295

2.2.1 基本初等函数的导数公式296

2.2.2 导数的四则运算法则297

2.2.3 复合函数的导数公式297

2.2.4 幂指函数求导298

2.3 可微的定义299

2.4 可微、可导、连续三者的关系300

2.5 很重要的四个知识点303

2.5.1 第一个知识点303

2.5.2 第二个知识点303

2.5.3 第三个知识点311

2.5.4 第四个知识点314

2.6 高阶导推低阶导315

2.7 求某函数的高阶导数的方法315

2.8 求曲线的渐近线318

2.9 分段函数求导323

第3章 微分中值定理及其应用329

3.1 求函数在给定区间的单调性329

3.2 求函数的单调区间329

3.3 求函数的极值点与极值331

3.4 求函数在给定区间的凹凸性333

3.5 求函数的凹凸区间334

3.6 求函数的拐点336

3.7 与极值点和拐点有关的一个重要结论340

3.8 求函数在给定区间的最值341

3.9 求两个函数的交点个数或求一个方程的实根个数345

3.10 证明恒等式348

3.1 1证明不等式353

3.12 证明零点问题360

第4章 一元函数积分学371

4.1 原函数与不定积分371

4.1.1 原函数371

4.1.2 不定积分371

4.2 不定积分长什么样372

4.3 定积分和反常积分长什么样372

4.4 不定积分和定积分的计算方法374

4.4.1 不定积分的计算方法374

4.4.2 定积分的计算方法409

4.5 反常积分的计算方法414

4.6 定积分的应用422

4.6.1 利用定积分求面积422

4.6.2 利用定积分求旋转体的体积426

4.7 求被积函数中含绝对值的定积分与反常积分434

4.8 两个重要知识点435

4.8.1 原函数的存在性435

4.8.2 对称区间上奇偶函数的定积分与反常积分440

第5章 微分方程445

5.1 微分方程什么样445

5.2 微分方程的阶446

5.3 微分方程的解447

5.4 微分方程的通解448

5.5 微分方程的初始条件与微分方程的特解448

5.6 求一阶微分方程的通解的方法448

5.6.1 可分离变量法448

5.6.2 换元法451

5.6.3 公式法454

5.6.4.伯努利法457

5.6.5 变量代换法459

5.7 求二阶常系数线性微分方程的通解的方法459

5.7.1 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的方法460

5.7.2 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的方法461

5.8 求二阶变系数微分方程的通解的方法464

5.8.1 求不含y的二阶变系数微分方程的通解的方法464

5.8.2 求不含x的二阶变系数微分方程的通解的方法464

5.9 线性微分方程解的性质与结构465

第6章 多元函数微分学468

6.1 什么叫多元函数468

6.2 二元函数的极限计算方法468

6.3 二元函数的连续性475

6.4 可偏导的定义477

6.4.1 函数在某一点处可偏导的定义477

6.4.2 函数在某区间可偏导的定义482

6.5 利用公式求？483

6.5.1 当“△”是单一的字母时？的求法483

6.5.2 当“△”不是单一的字母时？的求法498

6.6 分段函数求偏导503

6.7 抽象函数求偏导511

6.8 二元函数的极值、最值、条件极值519

6.8.1 二元函数的极值519

6.8.2 二元函数的最值522

6.8.3 条件极值523

6.9 求空间曲线的切线与法平面以及求曲面的法线与切平面526

6.9.1 求空间曲线的切线与法平面526

6.9.2 求曲面的法线与切平面529

第7章 二重积分533

7.1 二重积分的形式533

7.2 当被积函数为1时二重积分的意义534

7.3 二重积分的计算方法536

7.4 二重积分的三条性质561

7.5 二重积分是一个数565

7.6 求解被积函数中含绝对值的二重积分566

7.7 二重积分的对称性577

7.8 二重积分的轮换对称性582

7.9 “先x后y型”二重积分与“先y后x型”二重积分的相互转化584

7.10 计算二重积分时的一个小技巧586

7.11 均匀薄片的形心587

第8章 三重积分589

8.1 三重积分的形式589

8.2 当被积函数为1时三重积分的意义590

8.3 五个必须背下来的图591

8.4 三重积分的计算方法595

第9章 无穷级数620

9.1 什么叫常数项级数620

9.2 常数项级数的分类621

9.3 常数项级数的收敛与发散625

9.4 常数项级数的六个重要性质626

9.5 什么叫幂级数629

9.6 幂级数的收敛域与和函数630

9.6.1 幂级数的收敛域630

9.6.2 幂级数的和函数630

9.7 正项级数的敛散性判别631

9.8 交错级数的敛散性判别640

9.9 一般级数的敛散性判别644

9.10 求幂级数的收敛域645

9.1 1求幂级数的和函数652

第三部分 概率论与数理统计658

第1章 随机事件和概率658

1.1 随机试验658

1.2 样本空间658

1.3 样本点659

1.4 随机事件659

1.5 随机事件之间的关系660

1.6 随机事件的概率661

1.7 两种特殊的随机事件661

1.8 互斥662

1.8.1 两个随机事件互斥662

1.8.2 两个随机事件对立662

1.9 相互独立663

1.9.1 两个随机事件相互独立663

1.9.2 三个随机事件相互独立663

1.9.3 多于三个随机事件相互独立663

1.10 关于互斥、相互独立的进一步讨论663

1.11 三大公式663

1.12 四条算律667

1.13 与概率有关的应用题671

1.13.1 第一类与概率有关的应用题 ——几何概型671

1.13.2 第二类与概率有关的应用题——伯努利概型677

1.13.3 第三类与概率有关的应用题——全概率概型与贝叶斯概型680

第2章 随机变量及其概率分布687

2.1 为什么要引入随机变量687

2.2 随机变量的定义687

2.3 分布函数的定义688

2.4 概率密度函数的定义689

2.5 随机变量的分类693

2.5.1 离散型随机变量693

2.5.2 连续型随机变量696

2.5.3 混合型随机变量698

2.6 三条重要结论698

2.7 分布律703

2.8 f（x）为某一随机变量的分布函数的充要条件706

2.9 通过分布函数求概率711

2.10 f（x）为某一随机变量的概率密度函数的充要条件714

2.11 通过概率密度函数求概率717

2.12 常用分布722

2.12.1 二项分布722

2.12.2 泊松分布724

2.12.3 几何分布726

2.12.4 均匀分布727

2.12.5 指数分布730

2.126 正态分布731

2.13 随机变量函数的分布735

第3章 二维随机变量及其分布740

3.1 二维随机变量的联合分布律、边缘分布律、条件分布律740

3.2 二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数744

3.3 二维随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数、条件概率密度函数746

3.4 通过联合概率密度函数f（x,y）求概率759

3.5 二维均匀分布762

3.6 随机变量的独立性765

3.7 两个随机变量函数的分布768

3.8 x2分布、t分布、F分布775

3.8.1 x2（读作“kài方”）分布775

3.8.2 t分布777

3.8.3 F分布778

第4章 随机变量的数字特征779

4.1 数学期望的基本计算方法779

4.2 数学期望的性质783

4.3 方差的基本计算方法788

4.4 方差的性质791

4.5 常见分布的数学期望与方差794

4.6 协方差与相关系数797

4.6.1 协方差797

4.6.2 相关系数799

第5章 大数定律和中心极限定理802

5.1 切比雪夫不等式802

5.2 辛钦大数定律803

5.3 列维林德伯格定理（中心极限定理）804

第6章 数理统计的基本概念805

6.1 五个名词805

6.2 与？和S2有关的三条性质805

6.3 与正态总体有关的四条结论806

第7章 参数估计808

7.1 无偏估计808

7.2 矩估计809

7.3 最大似然估计812

7.4 置信区间816